Конфигурация конечного автомата

Определение 2.2.1. Конфигурацией или мгновенным описанием (instantaneous description) конечного автомата называется любая упорядоченная пара , где и .

Замечание 2.2.2. Содержательно конфигурация представляет собой "мгновенное описание" конечного автомата. Если представить, что исходное слово, принадлежность которого рассматриваемому языку надо проверить, дано в некотором "входном потоке", то в конфигурации слово w есть та часть исходного слова, которая пока осталась во входном потоке (это некоторый суффикс исходного слова), а q - текущее состояние "управляющего устройства".

Определение 2.2.3. Определим на множестве всех конфигураций конечного автомата M бинарное отношение (такт работы (step)) следующим образом. Если и , то . Иногда вместо пишут .

Пример 2.2.4. Рассмотрим конечный автомат

из примера 2.1.2. Тогда .

Определение 2.2.5. Бинарное отношение определяется как рефлексивное, транзитивное замыкание отношения .

Пример 2.2.6. Для конечного автомата из примера 2.1.2 выполняется и .

Лемма 2.2.7. Пусть дан конечный автомат . Слово принадлежит языку L(M)тогда и только тогда, когда для некоторых и верно .

Лемма 2.2.8. Если и , то .

Доказательство. Лемму легко доказать индукцией по количеству тактов в вычислительном процессе, ведущем из конфигурации в конфигурацию .

Конечные автоматы с однобуквенными переходами

Лемма 2.3.1. Каждый автоматный язык распознается некоторым конечным автоматом, не содержащим переходов с метками длины больше единицы и имеющим ровно одно начальное состояние и ровно одно заключительное состояние.

Пример 2.3.2. Рассмотрим язык, заданный конечным автоматом , где Q = {1,2}, , I = {1,2}, F = {1,2},

Тот же язык распознается конечным автоматом , где Q' = {0,1,2,3,4,5}, I' = {0}, F' = {5},

Здесь первые два перехода заменяют старый переход и следующие два перехода заменяют старый переход . Чтобы обеспечить единственность начального состояния, добавлены переходы и . Последние два перехода в обеспечивают единственность заключительного состояния.

Лемма 2.3.3. Каждый автоматный язык распознается некоторым конечным автоматом, содержащим только переходы с метками длины единица и имеющим ровно одно начальное состояние.

Доказательство. Согласно лемме 2.3.1 можно предположить, что исходный язык задан конечным автоматом , не содержащим переходов с метками длины больше единицы, причем |I| = 1. Построим искомый конечный автомат , положив Q' = Q, I' = I,

Пример 2.3.4. Пусть , где Q = {1,2,3}, , I = {1}, F = {3},

Легко убедиться, что . Тот же язык распознается конечным автоматом , где F' = {2,3} и