Общий случай плоского движения

· Основное свойство плоского движения.

Вначале сформулируем основное свойство, а затем его докажем.

Плоское движение твердого тела можно представить как поступательное движение совместно с полюсом и вращение или угловое движение вокруг полюса, причем угловое движение не зависит от поступательного движения.

Из выражений (1) мы видим, что первые два уравнения описывают движение полюса или поступательное движение базовой системы координат Ax*y*, а третье уравнение описывает вращение или угловое движение тела в базовой системе координат, причем вращение происходит вокруг осей Az* и Az₁, перпендикулярных плоскости рисунка, и на рис. 79 не показанных.

Докажем независимость углового движения тела от поступательного движения, выбрав новый полюс A' (рис. 80). Из-за этого, так как x_A' x_A и y_A' y_A, изменятся параметры поступательного движения. Воспользовавшись произвольным выбором второй точки отрезка B', мы всегда можем ввести связанную с телом систему координат A'x'₁y'₁ (рис. 80) так, чтобы φ' = φ и параметры углового движения (угол поворота, угловая скорость, угловое ускорение) не изменились, доказав этим, что угловое движение не зависит от поступательного движения.

 

Сравнительный характер поступательного и вращательного движения.

Сравнение поступательного и вращательного движений.

Поступательное движение.	Вращательное движение.
Траектории отдельных частиц параллельны	Траектории отдельных частиц –концентрические окружности
Скорость                  v = ds / dt	Угловая скорость               ω = dφ / dt
Ускорение               b = d v / dt	Угловое ускорение          β = dω / dt
Масса                       m = Σ m i	Момент инерции              J = Σ m i r i ²
Сила                          F	Вращающий момент       М = F r
Закон действия силы F = mb	Закон действия силы       М = J β
Энергия движения  E = ½ (m v²)	Энергия движения          E = ½ (J ω ²)

Движение тела складывается из поступательного движения и вращательного движения. Сила, приложенная к центру тяжести, сообщает телу поступательное движение; результирующей вращательный момент сил, не проходящих через центр тяжести, -вращательное движение. Результирующим является в общем случае винтовое движение.

 

 

Колебательные движения

Колебательные движения

- Самый простой случай К. движений уже рассмотрен в статье Гармоническое движение. Такое движение обуславливается переменной силой, во всякий момент направленной противоположно отклонению колеблющейся точки u, пропорциональной величине отклонений. Перемещение колеблющейся точки, в самом простом случае, выражается уравнением: x = α sin2 π t / T, где α размах или амплитуда колебания, T - период одного колебания, t время, считаемое от момента прохождения точки чрез среднее свое положение и угол 2π t / T - фаза колебания. Фаза определяет место точки в пути и считается от 0 до 2π. Кинетическая энергия колеблющейся частицы (масса m), выражаемая, обыкновенно, через ½ mv ² (живая сила), меняется в течение ½ периода от нуля до некоторого максимума. Поэтому средняя величина энергии для времени ½ периода выражается через

π²m a² / T².

Все возможные типы колебаний могут быть приведены к простому колебанию - гармоническому. Фурье доказал особой теоремой, что всякое периодическое или К. движение с периодом T можно составить через сложение простых - с периодом T, ½ T, ⅓ T, и т.д. и притом составить только одним способом (т. е. с вполне определенными амплитудами и фазами). Иначе говоря, всякое К. движение с периодом Т разлагается на простые гармонические, причем период основного есть Т. Два простых колебания одного периода, следующие по одной и той же прямой, складываются - усиливая или ослабляя друг друга и даже уничтожая (если амплитуды равны, а фазы противоположны, т. е. разнятся на π). Такое явление называется интерференцией колебаний (см. Интерференция). Два колебания одинакового периода, направленные по взаимно перпендикулярным прямым, смотря по амплитудам и разности фаз, складываются или в движение по эллипсу (эллиптическое колебание), или по кругу (круговое колебание), или по прямой. Два колебания различных периодов по взаимно перпендикулярным линиям, в зависимости от амплитуд и разности фаз, складываются в траектории сложных форм, известных под общим именем фигур Лиссажу. Ряд точек, последовательно приходящих в К. движение, называется лучом. Передача колебаний от точки к точке - совершается с определенной скоростью, которая поэтому называется скоростью распространения колебаний. Расстояние между двумя ближайшими точками луча, находящимися в одинаковых фазах колебания, называется длиной волны (λ). Если в ряде точек в некоторый момент (t) перемещение одной точки ряда: x = а sin2 π t / T, то перемещение всякой другой, находящейся в ряде на расстоянии y от первой, выразится уравнением

x = a sin2 π (t / T-у / λ).

Такое уравнение называется уравнением луча и y называется разностью хода двух колеблющихся точек. Она соответствует разности фаз 2π y / λ