Работа и энергия в поле тяготения

Определим работу, которую совершают силы поля тяготения при перемещении в поле материальной точки массой m. Вычислим, какую надо затратить работу для удаления тела массой m от Земли. На расстоянии R (рис. 1) на тело действует сила

 

Рис.1

 

При перемещении этого тела на расстояние dR совершается работа

(1)

Знак минус появляется потому, что сила и перемещение в данном случае противоположны по направлению (рис. 1).

Если тело перемещать с расстояния R₁ до R₂, то работа

(2)

Из формулы (2) следует, что затраченная работа в поле тяготения не зависит от траектории перемещения, а зависит лишь от начального и конечного положения тела, т. е. силы тяготения действительно консервативны, а поле тяготения является потенциальным.

Работа, совершаемая консервативными силами, равна изменению потенциальной энергии системы, взятому со знаком минус, т. е.

Из формулы (2) получаем

(3)

Так как в формулы входит только разность потенциальных энергий в двух состояниях, то для удобства принимают потенциальную энергию при R₂→∞ равной нулю (P₂=0). Тогда (3) запишется в виде P₁= -GmM/R₁. Поскольку первую точку мы выбрали произвольно, то

Величина

является энергетической характеристикой поля тяготения и называется потенциалом. Потенциал поля тяготения φ - скалярная величина, которая определяется потенциальной энергией тела единичной массы в данной точке поля или работой по перемещению единичной массы из данной точки поля в бесконечность. Таким образом, потенциал поля тяготения, создаваемого телом массой М, равен

(4)

где R - расстояние от этого тела до рассматриваемой точки.

Из формулы (4) следует, что геометрическое место точек с равными потенциалами образует сферическую поверхность (R=const). Такие поверхности, для которых потенциал постоянен, называются эквипотенциальными.

Исследуем взаимосвязь между потенциалом φ поля тяготения и его напряженностью g. Из выражений (1) и (4) вытекает, что элементарная работа dA, совершаемая силами поля при малом перемещении тела массой m, равна

С другой стороны, dA=Fd l (d l - элементарное перемещение). Учитывая (24.1), получаем, что dA=mgd l, т. е. mgd l = -mdφ, или

Величина dφ/d l характеризует изменение потенциала на единицу длины в направлении перемещения в поле тяготения. Можно показать, что

(5)

где - градиент скаляра φ. Знак минус в формуле (5) показывает, что вектор напряженности g направлен в сторону убывания потенциала.

В качестве частного примера, исходя из представлений теории тяготения, рассмотрим потенциальную энергию тела, находящегося на высоте h относительно Земли:

где R₀ - радиус Земли. Так как

и

то, учитывая условие h<<R₀, получаем