Работа при вращательном движении

Во всех курсах физики для вычисления работы предлагается формула:

dA = FdS cos α (1)

Из этой формулы следует, что работа равна нулю, если сила не производит перемещение тела или если сила перпендикулярна перемещению S (например, центростремительные силы). Однако автором в работах [1-3] было показано, что центростремительные и гироскопические силы также совершают работу. В тех же курсах физики приводятся примеры, свидетельствующие о том, что центростремительные силы все же совершают работу!

Так, в [4, стр. 257] говорится: «Из того, что при криволинейном движении тело испытывает ускорение, следует, что на него должны действовать силы. Например, грузик, привязанный к нити, может двигаться по окружности только в том случае, если нить тянет его с некоторой силой. Но нить может тянуть грузик только если она деформирована (растянута)». И далее [стр.259]: «При вращении колес, дисков и т.п. возникают деформации того же типа, что и деформации связей, заставляющих тело двигаться по окружности. Именно силы, обусловленные такими деформациями, и сообщают частям вращающегося тела центростремительные ускорения, необходимые для того, чтобы эти части двигались по окружности. Если тела очень жестки, то деформации очень малы и их непосредственное наблюденивенное наблюдени.

Однако эти деформации могут привести к разрушению вращающегося тела: в ряде случаев маховики и другие вращающиеся части машин разрывались при движении. Разрушение было связано обычно с превышением допустимой скорости вращения». Вот и говори после этого, что центростремительные силы не совершают работы!

Если тело массы m под действием силы F движется по криволинейной траектории dS, то кроме обычной («путевой») работы dA = FdS cos α, еще совершается работа центростремительной силы F_n = ma_n = mV² / R, где V = dS / dt, dS = R • dφ, где R - радиус кривизны элемента dS (рис.1). Элементарная работа центростремительной силы (см. гл.3)

dAn = F_ndS_n (2)

Т.к. S_n = R(1 - cos φ), то

dS_n = R sin φ dφ (3)

Рассмотрим, например, разгон тела из неподвижного состояния по дуге окружности радиуса R под действием постоянной силы F, направленной по касательной. Обычная («путевая») работа может быть вычислена по известной формуле

dA = M • dφ (4)

где M = F • R - момент силы. Поскольку скорость тела определяется выражением V = Rω = Rε t, угловое ускорение ε = F / mR, время t² = 2φ / ε, то центростремительная сила:

F_n = m / R • (Rε t)² = 2mRεφ = 2φF (5)

Элементарная работа центростремительной силы:

dA_n = 2 FRφ sin φ dφ (6)

Работа

(7)

Работу A_n центростремительной силы F_n и обычную («путевую») работу A для различных углов поворота приведем в Таблице 1.

Таблица 1. Работа A_n центростремительной силы F_n и обычная («путевая») работа A для различных углов поворота

Угол поворота, φ	π/2	π	3π/2	2π
Работа An	2FR	2πFR	2FR (1 + π)	4πFR
«Путевая» работа A	πFR/2	πFR	3πFR/2	2πFR

Поскольку силы F и F_n взаимноперпендикулярны, то работы этих сил аддитивны, т.е. складываются арифметически: A_Σ = A + A_n.

Рассмотрим работу, затрачиваемую на разгон вокруг оси тела вращения (например, цилиндра радиуса R, высотой H, плотность материала цилиндра ρ, масса цилиндра m = πR² Hρ). На рис. 2 показано сечение цилиндра и действующая на него вращающая сила F. Обычная («путевая») работа определяется формулой (4).

Элементарная центростремительная сила, действующая на кольцевой элемент толщиной dr, будет равна

(8)

Суммарная центростремительная сила, действующая на цилиндр:

(9)

Радиус приложения силы F_n равен R_* = 2 R / 3. Тогда в соответствии с выражением (3) получим

(10)

Элементарная работа центростремительной силы:

(11)

Работа центростремительной силы:

(12)

Работа A_n центростремительной силы F_n и обычная («путевая») работа A вращающей силы F для различных углов поворота приведена в Таблице 2.

Таблица 2. Работа A_n центростремительной силы F_n и обычная («путевая») работа A вращающей
силы F для различных углов поворота

Угол поворота, φ	π/2	π	3π/2	2π
Работа An	8FR /9	8πFR /9	8FR(1 + π)/9	16πFR /9
«Путевая» работа A	πFR/2	πFR	3πFR/2	2πFR

В силу принципа аддитивности суммарная работа на разгон цилиндра находится арифметическим сложением:

A_Σ = A + A_n