Лекция 19. Нормальные напряжения при прямом изгибе.

                    Расчёты на прочность.

Рассмотрим изогнутый брус (рисунок 51). В нём можно выделить три области:

1. Область растянутых продольных волокон. Это такая область, в которой изогнутые продольные волокна бруса стали длиннее.

2. Область сжатых продольных волокон. Это такая область, в которой изогнутые продольные волокна бруса стали короче.

3. 3. Нейтральный слой. Это такая область, в которой изогнутые                                           Рисунок 57. Изогнутый брус.  Продольные волокна не изменили своей длины.

Возьмём изогнутый брус бесконечно малой длины (рисунок 21). Крайние поперечные сечения соединим в точке, угол между ними обозначим d𝜃. Радиус нейтрального слоя обозначим 𝜌. Тогда радиус волокна mm составит 𝜌 + y. Длина волокна nn, расположенного в нейтральном слое, . Длина волокна mm, расположенного в растянутой области,

l = dz +𝛥  =

Рисунок 58. Распределение нормальных

Напряжений по поперечному сечению бруса.

Относительная продольная деформация волокна mm составит: 𝜀 = = =  . Тогда формула закона Гука для нормальных напряжений примет вид: 𝛔 = Е𝜀 = Е . Эта формула показывает, что величина нормального напряжения в любой точке поперечного сечения бруса прямо пропорциональна расстоянию y до нейтрального слоя: y = 0 → 𝛔 = 0 – в нейтральном слое, 𝛔 =  в точках, наиболее удаленных от нейтрального слоя. Нейтральный слой расположен на главной центральной оси поперечного сечения, перпендикулярной нагрузке. Для поперечных сечений, симметричных относительно нейтрального слоя максимальные напряжения в растянутой и сжатой областях равны и определяются по формуле:

 , где  - осевой момент сопротивления поперечного сечения бруса относительно оси Х, проходящей через нейтральный слой.

Осевым моментом инерции поперечного сечения называется интеграл, взятый по всей площади сечения от произведения площади элементарной площадки на квадрат расстояния от неё до оси.

Рассмотрим прямоугольное поперечное сечение бруса с размерами b и h. Выделим в этом сечении элементарную площадку по всей ширине толщиной dy (рисунок 59).

Площадь элементарной площадки dA = bdy. Тогда осевой момент инерции относительно оси Х определится как: =  =  .

Аналогично можно определить осевой момент инерции

относительно оси Y. .

В этом случае элементарную площадку следует выделить по всей высоте сечения параллельно оси Y. Пределы интегрирования необходимо выбрать от - до

 

Рисунок 59. Прямоугольное сечение.

Рассмотрим круглое поперечное сечение бруса (рисунок 60).                           

Выделим внутри сечения элементарную площадку dA. Расстояние от неё до центра сечения обозначим 𝜌, расстояние до оси Х обозначим y, а расстояние до оси Y обозначим х.

Полярный момент инерции круглого поперечного сечения определяется по формуле:  .

Учитывая, что , получим:: .

Интегралы, стоящие в правой части называются осевыми моментами инерции и обозначаются I_yuI_x. Поскольку круг фигура правильная, величины осевых моментов инерции для него равны, т. е. I_y = I_x =  =  ≈ 0,05 .

Осевые моменты сопротивления круглого поперечного

Сечения так же равны и определяются по формуле:

Рисунок 60. Круглое сечение.

Расчёты на прочность при изгибе проводятся по нормальным напряжениям. В основе расчётов на прочность при изгибе лежит условие прочности: РН ≤ ДН (рабочие напряжения должны быть меньше, или равны допускаемым напряжениям).

Рассмотрим виды расчётов и формулы для балок, поперечные сечения которых симметричны относительно нейтрального слоя. Различают три вида расчётов на прочность:

1. Проверочный расчёт  ≤  Цель проверочного расчёта проверить соблюдение условия прочности.

2. Проектный расчёт  . Цель расчёта определить размеры опасного поперечного сечения балки, обеспечивающих прочность.

Для круглого поперечного сечения , следовательно, d = .

Для прямоугольного поперечного сечения  . Для прямоугольного поперечного сечения с соотношением размеров h/b = 2 осевой момент сопротивления  =

Следовательно, b =  .

Для поперечных сечений балок, изготовленных из фасонного прокатного профиля (двутавр, швеллер) размеры поперечного сечения подбирают по таблицам сортамента по величине

3. Определение допускаемой нагрузки. . Цель расчёта определить грузоподъёмность балки при условии соблюдения её прочности.

 

Пример решения задачи.

Для балки на двух опорах (рисунок 50) подобрать из условия прочности круглое, прямоугольное с отношением размеров  и двутавровое поперечные сечения, если допускаемое напряжение для материала бруса Н/мм². Сравнить экономическую эффективность применения подобранных поперечных сечений бруса.

РЕШЕНИЕ.

Производим проектный расчёт на прочность при изгибе для опасного сечения бруса, положение которого определяем по эпюре изгибающего момента. Опасным сечением будет то, в котором абсолютная величина изгибающего момента будет наибольшей. Формула проектного расчёта: , где

 (мм³) – осевой момент сопротивления поперечного сечения бруса относительно оси Х,

               проходящей через нейтральный слой его поперечного сечения;

М_{Х О} (Нмм) – изгибающий момент в опасном поперечном сечении бруса;

 (Н/мм²) – допускаемое напряжение для материала бруса.

 Определим осевой момент сопротивления опасного сечения: мм³

Круглое поперечное сечение: мм

Прямоугольное поперечное сечение: мм

мм.

Двутавр – зто стандартный фасонный прокатный профиль. По таблице23 сортамента выбираем двутавр, у которого осевой момент сопротивления W_x ближайший больший к расчётному. В нашем случае подходит двутавр №33, у которого W_x = 597 cм³.

Экономическую эффективность подобранных поперечных сечений бруса определим, сравнив их площади:

мм² = 254,34 см²

мм² = 184,32 см²

см² - по таблице сортамента для двутавра №33.

Вывод: наиболее экономичным для заданного бруса будет двутавровое поперечное сечение, т. к. его площадь наименьшая из трёх рассматриваемых вариантов.

Задача для самостоятельного решения. Для расчётной схемы балки, рассчитанной  по рисунку 19 подобрать из условия прочности круглое, прямоугольное с отношением сторон ½ и двутавровое поперечное сечение. Сравнить их экономическую эффективность. Допускаемое напряжение Н/мм².