Эпюры поперечной силы и изгибающего момента.

Балка жёстко закреплена одним концом.

Эпюры поперечной силы и изгибающего момента строятся в следующем порядке:

1. Параллельно оси бруса проводятся две нулевые линии и переносятся на них точки приложения внешних сил и моментов, а также границы равномерно распределённой нагрузки.

В результате этого вся длина бруса разбивается на несколько характерных участков.

2. Применяя метод сечений, начиная со свободного конца бруса, отбрасывая всё время его закреплённую часть, используя изложенные выше четыре правила, определяются значения поперечной силы и изгибающего момента на границах характерных участков:

1 участок (рисунок 52).2 участок (рисунок 53).

Рисунок 52. 1 участок.                                 Рисунок 53. 2 участок.

м м

Q_y1 = F = 20 кН. M_x1 = - Fz₁.                                           Q = q (z₂ – 2)    

при z₁ = 0     M_x1 = 0                            Q_y2 = F – Q = F – q(z₂ – 2)

при z₂ = 2 м М_х1 = - кНм  при z₂ = 2 м Q_y2 = 20 – 0 = 20 кН

                                                                       при z₂ = 6 м Q_y2 = 20 – 20(6 – 2) = - 60 кН

У нас получилось, что на втором характерном участке эпюра поперечной силы, изменяясь непрерывно, пересекает нулевую линию (рисунок 55). Это значит, что на эпюре изгибающего момента в этом месте будет экстремум (максимум или минимум). Необходимо определить координату z_Э этой точки. Для этого приравняем нулю выражение поперечной силы на этом участке: м.

Теперь составим выражение изгибающего момента для второго характерного участка (рисунок 43): .

При z₂ = 2 м.        М_х2 = - кНм

При z₂ = z_Э = 3 м. М_х2 = - кНм

При z₂ = 6 м.        М_х2 = - кНм

3 участок (рисунок 54).

Рисунок 54. 3 участок.

кН

кН.

При z₃ = 6 м. М_х3 =

При z₃ = 10 м. М_х3 = кНм

По полученным результатам строятся эпюры поперечной силы и изгибающего момента (рисунок 55).

Рисунок 55. Расчётная схема бруса, эпюры Q_y и M_x

Задача для самостоятельного решения. Для одной из схем балки (рисунок 56) по заданным величинам (таблица 16) построить эпюры поперечной силы и изгибающего момента.

Таблица 16.                               Варианты задания

Вариант	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
Р, кН	20	30	10	40	50	60	30	20	35	60	20	15	40	30	25
q, кН/м	10	20	30	20	20	30	15	20	30	25	15	20	30	18	20
М, кНм	10	10	20	20	15	15	20	10	15	30	30	40	40	25	25
№ схемы (рис. 55)	1	1	1	2	2	2	3	3	3	4	4	4	5	5	5
Вариант	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
Р, кН	60	50	40	30	20	15	25	35	45	55	40	30	20	50	40
q, кН/м	15	10	15	25	20	12	14	16	18	10	12	14	15	16	20
М, кНм	10	10	20	20	30	30	25	25	15	15	32	32	40	40	15
№ схемы (рис. 55)	6	6	6	7	7	7	8	8	8	9	9	9	10	10	10

Рисунок 55. Расчётные схемы для задания.

Балка на двух опорах.

Построить эпюры поперечной силы и изгибающего момента для балки, имеющей две опоры и нагруженной так, как показано на рисунке 18. Исходные данные:

F₁ = 18 кН, F₂ = 30 кН, М₁ = 20 кНм, М₂ = 10 кНм.

 

РЕШЕНИЕ.

Заданная балка не нагружена равномерно распределённой нагрузкой. В этом случае эпюры поперечной силы и изгибающего момента удобно строить по характерным точкам. Характерные точки это точки приложения внешних сил и моментов, т. е. границы характерных участков. При построении эпюр необходимо использовать следующие дополнительные правила:

1. Эпюра поперечной силы на любом участке бруса представляет собой прямую, параллельную нулевой линии.

2. В том месте, где приложена внешняя нагрузка на эпюре поперечной силы будет скачок на её величину вверх, если она действует вверх, или вниз, если она действует вниз (правило «прямых скачков» при построении эпюры слева направо). При построении эпюры поперечной силы справа налево действует правило «обратных скачков», т. е. скачки происходят в направлениях, противоположных действию внешней нагрузки.

3. Внешний момент никак не влияет на эпюру поперечной силы.

4. Эпюра изгибающего момента на любом участке бруса представляет собой прямую, наклонную к нулевой линии. На участках, где действует только внешний момент, эпюра изгибающего момента представляет собой прямую, параллельную нулевой линии.

5. Изгибающий момент в любой характерной точке равен алгебраической сумме моментов относительно этой точки внешней нагрузки, действующей слева или справа от неё.

Причём, если в характерной точке нет внешнего момента, достаточно определить алгебраическую сумму моментов внешней нагрузки относительно её или слева, или справа. Если же в характерной точке действует внешний момент, то надо определять алгебраическую сумму моментов внешней нагрузки относительно её и слева и справа.

 Сила, действующая вверх, даёт положительный момент относительно характерной точки, сила, действующая вниз – отрицательный. Момент, действующий по направлению движения часовой стрелки, будет положительным, а, действующий против направления движения часовой стрелки – отрицательным при построении эпюры слева направо. При построении эпюры справа налево всё наоборот, т. е. момент, действующий в направлении движения часовой стрелки, будет отрицательным, а, действующий против движения часовой стрелки – положительным.

Реакции опор балки определены в задании 1.5. пример 3: R_B = 10 кН, R_D = 22 кН.

Строим эпюру поперечной силы, следуя слева направо:

Q_yA = - F₁ = - 18 кН, т. к, сила F₁ действует вниз.

Q_yB = - F₁ + R_B = - 18 + 10 = - 8 кН. Скачок на величину R_B = 10 кН вверх.

Q_yC = -F₁ + R_B + F₂ = - 18 + 10 + 30 = 22 кН. Скачок на величину F₂ = 30 кН вверх.

Q_yD = 22 кН.

Строим эпюру изгибающего момента, определив их значения в характерных точках:      точка А Внешних моментов нет, и слева от точки А не действует внешняя нагрузка, следовательно, М_хА = 0;

точка В. Внешних моментов нет, и слева от точки В действует внешняя сила F₁, следова-          

тельно, кНм;

точка С. Действует внешний момент, следовательно, надо определять изгибающие момен-                                                         ты слева и справа от неё:    

кНм – слева от точки С.

кНм – справа от точки С.

точка D. Действует внешний момент, следовательно, надо определять изгибающие моменты слева и справа от неё:

кНм – слева от точки D

, т. к. справа от точки D нет внешней нагрузки.

По полученным результатам построены эпюры поперечной силы и изгибающего момента (рисунок 56).

Рисунок 56. Расчётная схема, эпюры Q_y и M_x

Задача для самостоятельного решения. Для расчётной схемы балки, рассчитанной  по рисунку 19 построить эпюры поперечной силы и изгибающего момента.