Зависимость между крутящим моментом и касательным напряжением.

Рассмотрим круглое поперечное сечение бруса. Выделим элементарную площадку dA на расстоянии 𝜌 от центра О. Выразим крутящий момент через касательное напряжение.

При этом учтём, что в любой точке поперечного сечения бруса касательное напряжение направлено перпендикулярно к радиусу, проведённому в эту точку (рисунок 44).

Такое направление напряжений следует из характера деформации. Элементарная касательная сила, приходящаяся на площадку dA, равна 𝜏dA, а её момент относительно центра круглого поперечного сечения (точки О) dM_z =(𝜏dA)𝜌. Суммируя эти элемен -  

Рисунок 44 Сечение бруса. тарные моменты,  получаем следующее выражение для крутящего момента: .

Теория кручения бруса круглого поперечного сечения основана на следующих допущениях:

1. Поперечные сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к оси после деформации (гипотеза Бернулли).

2. Расстояния между поперечными сечениями в процессе деформации не изменяются.

3. Радиусы поперечных сечений при деформации бруса не искривляются.

4. Материал бруса при деформации сопротивляется по закону Гука.

При выводе формулы касательных напряжений при кручении бруса круглого поперечного сечения используются три базовые формулы:

1. Формула зависимости между крутящим моментом и касательным напряжением:

2. Формула закона Гука для касательных напряжений: 𝜏 = G 𝛾

3. Формула зависимости между углом сдвига продольных волокон и углом закручивания поперечных сечений бруса: 𝛾 = 𝜌  .

 

𝜏 = G 𝛾

𝛾 = 𝜌

𝜏 = G 𝜌

𝜏мах =

⋆⋆⋆

MZ = G

𝜏 =

𝜏 мах =

MZ = G

⋆                               ⋆⋆

                                                                      ⋆                                     - Полярный момент инерции круга

 

 

⋆⋆ Формула показывает, что закон распределения касса-

                                                                  тельных напряжений по поперечному сечению бруса

                                                                  линейный: 𝜏 = 0 при 𝜌 = 0 – в центре сечения;

𝜏 = при 𝜌 =  – во внешнем контуре

                                                                                                                                         сечения. 

𝜏 _мах

⋆⋆⋆ Отношение полярного момента

  инерции поперечного сечения к его

радиусу называется полярным мо-

ментом сопротивления этого сечения. 𝜏 _мах

Рисунок 45. Эпюра касательных напряжений.

Полярным моментом инерции фигуры называется интеграл, взятый по всей её площади от произведения площади элементарной площадки на квадрат расстояния от неё до центра сечения фигуры: .

Рассмотрим круглое сечение диаметром d (рисунок 46). Выделим внутри его элементарную площадку площадью dA в виде кольца. Расстояние от центра до площадки обозначим 𝜌, а толщину площадки d𝜌. Если эту площадку вырезать и развернуть, то получим прямоугольник со сторонами 2𝜋𝜌 и d𝜌. Площадь такой площадки составит: dA = 2𝜋𝜌d𝜌. Подставим значение площади под интеграл и получим:

. Единицей измерения полярного момента

инерции является мм⁴. Рисунок 46. Круглое сечение. Полярным моментом сопротивлениякруглого сечения называется отношение полярного момента инерции сечения к егорадиусу.

Рисунок 46. Круглое сечение. W_p =  =  = .

Единицей измерения полярного момента инерции является мм³.