Любой атом является символическим выражением.

Если А₁ и А₂ суть символические выражения, то (А₁ A₂)— это также символические выражения.

Если S = (А,. (А₂. (.... (А_п-1. AJ....))) — суть символическое выражение для некоторого п>0, то S — список тогда и только тогда, когда А_n =NIL.

В соответствии с этим определением, если п=0, то S представляет собой пустой список, NIL. Такое определение допускает существование списка списков, а также списка атомов. Если S₁ S₂,..., S_n— символические выражения, то мы будем представлять список

S₁.(S₂.(.... (S_n. NIL)....)))

В виде

(S₁ S₂.... S_n)

Таким образом, (А. (В. NIL)) является списком. Он представляет список (А В), но (А. (В. С)) списком не является, поскольку (С=NIL)).

Символическое выражение, которое не является ни атомом, ни списком, называется точечной парой. Если (А. В) — точечная пара, то А — это голова пары, а B — ее хвост. Точечные пары могут иметь произвольную сложность. Так, ((А. В). С) — тоже точечная пара, так же, как и ((А. В). (С. D)). Благодаря наличию соответствия между точечными парами и списками, понятия головы и хвоста определены и для списков. Поскольку список (А В) — это (А. (В. NIL)), то очевидно, что А — голова в списке (А В), а хвост — это (В), но не В. Хвостом списка (В) является NIL

Структура LISP-программы

Как использовать список в качестве базовой структуры данных, понятно. Сложнее представить себе, как можно организовать программу или выражение программы в виде списка. Например, список

(+ X Y) представляет математическое выражение в форме

(<функция> <1-й аргумент> <2-й аргумент>),

которое обозначает сложение двух чисел. Такой метод обозначений (нотация) отличается от привычного нам обозначения функции п переменных в виде f(x₁,... x_n). Но возникает вопрос, как компилятор или интерпретатор отличает данные от программы, если и то и другое представлено списками.

Необходимо иметь возможность определить значение такого выражения— например, значение выражения (+ X Y). Для этого нужно отыскать определение функции (в данном случае — функции +). В этом определении должна содержаться та последовательность элементарных операций, которую нужно применить к аргументам, чтобы определить значение функции.

Нужно иметь средства сформировать определение функции и применить это определение к аргументам, т.е. к действительным, а не формальным параметрам. Механизм определения функции и приложения функции базируется на логической системе, названной лямбда-исчислением (см. [Church, 1941]). Лямбда-исчисление является скорее функциональным, чем исчислением отношений, и в этом состоит различие между ним и исчислением предикатов первого порядка. В функциональном исчислении первичным понятием является отношение "многие-к-одному", а не "многие-ко-многим". Так, отец — это функциональное отношение, а брат — более общее отношение, поскольку каждый человек может иметь только одного отца, а братьев может быть несколько. Ниже в этой главе мы более подробно остановимся на связях между языком LISP и лямбда-исчислением.

Нужно располагать средствами доступа к текущим значениям переменных (или формальных параметров), таких как X и Y. Вычисление каждого символического выражения выполняется в контексте формирования переменных. Нужно располагать средствами сохранения и восстановления этого контекста при вычислении значений сложных символических выражений, т.е. вычисления и комбинирования значений содержащихся в них подвыражений.

При вычислении сложных символических выражений, когда необходимо вычислять значения его компонентов, которые являются сложными выражениями, нужно располагать средствами сохранять текущее выражение и промежуточные результаты. Необходимо также обладать средствами копирования символических выражений.

Нужно уметь подавлять вычислительную обработку списков, которые не являются операторами программы, а структурами данных. Например, не нужно пытаться вычислять выражение, подобное следующему:

((1 2 3)(4 5 6)(7 8 9))

И пытаться отыскать определение функции (1 2 3).

Для этого существует специальная форма выражения (QUOTE X) для любых X, которая возвращает X. Точно такое же действие выполняется и выражением (quote X).

Современные версии LISP не чувствительны к регистру символов, хотя и возможно так сконфигурировать исполнительную систему, что она станет по-разному воспринимать символы верхнего и нижнего регистров.

Функции, их вычисление и проблема цитирования в CLIPS

Существуют два основных метода разрешения проблемы цитирования, т.е. предотвращения интерпретации данных как функций или выражений. Один метод заключается в том, чтобы в число системных функций ввести специальную функцию, которая рассматривается интерпретатором как указание не обрабатывать последующий список. Такой системной функцией в LISP является QUOTE. Другой метод состоит в том, чтобы по умолчанию подавлять механизм оценивания значения (вычисления) до тех пор, пока специальная синтаксическая конструкция его не запустит. В языке CLIPS использован именно такой метод.

Например, в CLIPS можно следующим образом определить функцию:

(deffunction between(?lb?value?ub)

(or (> lib?value) (>?value?ub))))

Эта функция определяет, попало ли заданное целочисленное значение в диапазон между указанными нижним и верхним пределами. Знак вопроса, предшествующий именам, говорит интерпретатору CLIPS, что выражения?lb,?value и?ub являются переменными и их не нужно оценивать.

Общепринятым методом реализации функциональных языков типа LISP является использование четырехстековой машины, за которой закрепилось наименование SECD-машины. В четырех стеках машины отслеживаются промежуточные результаты, значения переменных, текущее выражение и копии текущего состояния процесса вычислений сложного выражения, которые нужны, чтобы восстановить состояние после завершения вычисления вложенного выражения (подвыражения). Не вдаваясь в подробности, отметим, что процесс оценивания символического выражения в такой машине — это не что иное, как реализация базовой операции приложения функции, как это определено в лямбда-исчислении (см., например, [Henderson, 1980], [Glaser et al., 1984]).

Приложение функции и лямбда-исчисление

Для того чтобы разобраться в связи между лямбда-исчислением и языком LISP, нужно постоянно держать в уме сформулированное Черчем отличие между денотацией (означиванием) и абстракцией. Так, выражение (X X) означивает конкретное число, которое зависит от значения X. Но то же число можно получить и при помощи функции square(X), которая является абстракцией, поскольку ее можно приложить к разным значениям X. Для того чтобы отличить означивание от абстракции, первое представляется в лямбда-исчислении в таком виде:

(лх)(X х)

Говорят, что лямбда-оператор, X, связан с переменной X, как квантор связывает отдельные переменные в исчислении предикатов. Тогда (ЛХ)(X X) может служить определением функции возведения в квадрат:

square(X) = (лX)(X X)

Теперь для применения функции возведения в квадрат к конкретному числу, скажем 3, мы должны каким-то образом подставить 3 вместо переменной X и оценить (X,Х), в результате чего получим 9. Когда определение функции применяется к аргументу 3, используется правило влияния, получившее наименование лямбда-преобразования. Доложим, что (лХ)М определяет любую лямбда-абстракцию, и пусть S(a, X, М) — результат подстановки X в М.

Лямбда-преобразование. Заменим любую часть ⁽l^Х)М в формуле на ^{s(a, x, М)}, причем ограниченные переменные в ^м отличны как от ^х, так и от свободных переменных ^а.

Если мы полагаем, что ((ЛХ)М) а обозначает применение определения функции (ЛХ)М к аргументу а, то

((ЛХ)(Х Х))(3) = (3 3) = 9.

Какое же все это имеет отношение к языку LISP? А вот какое. Определение функции возведения в квадрат в LISP выглядит примерно так:

(defun SQUARE (X) (LAMBDA (X) (X X))).

В различных диалектах языка допустимы вариации, но смысл остается тем же. В частности, в диалекте COMMON LISP используется сокращенная форма

(defun SQUARE (X) (X X)).

В любом случае имя функции, в данном случае SQUARE, ассоциируется в определении с лямбда-выражением. Выражение (LAMBDA (X) (X X)) — это просто синтаксический вариант ((ЛХ) (X X)). Фактически, если определено SQUARE, в любом диалекте LISP имеем

(SQUARE 3) = ((LAMBDA (X)

(X X)) 3) = ((АХ)(Х Х))(3) = 9.