Поиск в пространстве состояний

Фундаментальная идея, которая появилась в результате этих первых опытов, получила наименование поиск в пространстве состояний. По существу, идея очень проста. Множество проблем можно сформулировать в терминах трех важнейших ингредиентов:

исходное состояние проблемы, например исходное состояние головоломки;

тест завершения — проверка, достигнуто ли требуемое конечное состояние или найдено решение проблемы (примером может послужить правило определения, собрана ли головоломка);

множество операций, которые можно использовать для изменения текущего состояния проблемы, например шаги или перемещения фигур при сборке головоломки.

Один из способов представления такого концептуального пространства состояний — граф, в котором состояниям соответствуют узлы, а операциям — дуги. Рассмотрим в качестве примера задачу построения слова из некоторого множества букв, как в игре Scrabble. Задавшись набором операций установки букв, можно сформировать пространство состояний.

Предположим, что множество доступных букв включает Т, С и А. На каждом уровне графа мы будем добавлять по одной определенной букве. Каждая ветвь, исходящая из узла, соответствует установке буквы в определенную позицию в последовательности, а эта последовательность должна образовать осмысленное слово (рис. 2.1). Если это произошло, то головоломка считается собранной (например, если образовалась комбинация "act" или "cat"). (Сейчас мы не будем стремиться собрать какое-нибудь сложное слово вроде "scrabble", которое может принести играющему больше очков.)

Рис. 2.1. Дерево пространства состояний головоломки Scrabble с буквами Т, С и А

Это пространство состояний обладает двумя интересными свойствами, которые присущи далеко не всем пространствам состояний:

оно конечно, поскольку существует только п! способов расставить я букв;

оно не содержит повторяющихся узлов, что может привести к образованию петель на графе.

Метод формирования анаграмм последовательным перечислением является примером применения алгоритма, получившего наименование generate-and-test (порождение и проверка).

(1) Генерировать новое состояние, модифицируя существующее; например, изменить последовательность букв, добавив новую в существующую последовательность.

(2) Проверить, не является ли образовавшееся состояние конечным (решением); например, проверить, не является ли образовавшаяся последовательность осмысленным словом. Если это так, то завершить, иначе перейти к шагу (1).

Множество решений, которые удовлетворяют условию на шаге (2), иногда называют пространством решений. В некоторых головоломках, например в уже упомянутой "8 ферзей", решений много, а в других существует всего несколько или только одно. Действительно, существует довольно много способов разместить восемь ферзей на шахматной доске так, чтобы ни один из них не оказался под боем, а вот для головоломки "8-Puzzle" существует единственное решение (см. упр. 7).

Алгоритм имеет два основных варианта: поиск в глубину (depth-first search) и поиск в ширину (breadth-first search). Отличаются варианты порядком формирования состояний на шаге (1). Действительные алгоритмы приведены в упр. 5, а здесь мы дадим только их неформальное описание.

Для любого данного узла N алгоритм поиска в глубину строит потомок этого узла, т.е. формирует состояние, которое образуется в результате применения операторов к узлу N, а потом переходит к формированию узла, ближайшего к N, на том же уровне графа ("соседу" N), т.е. формирует состояние, которое образуется в результате применения оператора к узлу-родителю N. Алгоритм поиска в ширину действует наоборот — сначала формируются все "соседи" узла N, а потом уже строятся его потомки. Таким образом, в алгоритме поиска в ширину просматриваются последовательно состояния, представленные узлами одного и того же уровня на графе (рис. 2.2), а в алгоритме поиска в глубину просматриваются состояния на одном пути, а затем происходит возврат назад на один уровень и формируется следующий путь (рис. 2.3).

Рис. 2.2. Граф пространства состояний при использовании алгоритма поиска в ширину

Рис. 2.3. Граф пространства состояний при использовании алгоритма поиска в глубину

На обоих рисунках числа на дугах графа указывают номер шага, на котором формируется тот узел (состояние), для которого эта дуга является входящей. Конечно, этот номер еще зависит и от того, в каком порядке используются операторы из имеющегося множества. В представленном примере сначала применяется оператор, добавляющий очередную букву в конец последовательности, затем оператор, добавляющий букву на предпоследнюю позицию, и т.д., а последним применяется оператор, добавляющий букву на первое место. Но ведь можно использовать и обратный порядок применения операторов.

Оба алгоритма завершат работу (найдут конечное состояние) после формирования узла "act", а не "cat". Но алгоритму поиска в ширину придется для этого "посетить" пять узлов (сформировать и проанализировать пять состояний), а алгоритму поиска в глубину — четыре.