Классы случаев существования интеграла Стилтьеса

I. Если функция непрерывна, а функция имеет ограниченное изменение, то интеграл Стилтьеса

(5)

существует.

Сначала предположим, что монотонно возрастает: тогда примени критерий предыдущего пункта. По произвольно заданному ввиду равномерной непрерывности функции найдется такое , что в любом промежутке с длиной, меньшей , колебание будет меньше . Пусть теперь промежуток произвольно разбит на части так, что . Тогда все

и

,

откуда и следует выполнение условия (4), а стало быть и существование интеграла.

В общем случае, если функция имеет ограниченное изменение, она представима в виде разности двух ограниченных возрастающих функций: . В соответствии с этим преобразуется и сумма Стилтьеса, отвечающая функции :

.

Так как по уже доказанному каждая из сумм и при стремится к конечному пределу, то это справедливо и относительно суммы , что и требовалось доказать.

Можно ослабить условия, налагаемые на функцию , если одновременно усилить требования к функции :

Если функция интегрируема в в смысле Римана, а удовлетворяет условию Липшица:

(6)

то интеграл (5) существует.

Для того чтобы опять иметь возможность применить установленный выше критерий, предположим сначала функцию не только удовлетворяющей условию (6), но и монотонно возрастающей.

Ввиду (6), очевидно, , так что

.

Но последняя сумма при и сама стремится к 0 вследствие интегрируемости (в смысле Римана) функции , а тогда стремится к нулю и первая сумма, что доказывает существование интеграла (5).

В общем случае функции , удовлетворяющей условию Липшица (6), представим в виде разности

Функция , очевидно, удовлетворяет условию Липшица и в то же время монотонно возрастает. То же справедливо и для функции , так как, в силу (6), при

и

В таком случае рассуждение завершается, как и выше.

III. Если функция интегрируема в смысле Римана, а функция представима в виде интеграла с переменным верхним пределом:

(7)

где абсолютно интегрируема, в промежутке , то интеграл (5) существует.

Пусть , так что монотонно возрастает. Если интегрируема в собственном смысле и, следовательно, ограничена: то для

Имеем

Таким образом, в этом случае удовлетворяет условию Липшица, и интеграл существует в силу 2.

Предположим теперь, что интегрируема в несобственном смысле. Ограничимся случаем одной особой точки, скажем . Прежде всего, по произвольно взятому выберем так, чтобы было

(8)

где - общее колебание функции в рассматриваемом промежутке.

Разобьем промежуток по произволу на части и составим сумму

Она разлагается на две суммы , из коих первая отвечает промежуткам, целиком содержащимся в промежутке , а вторая - остальным промежуткам. Последние наверное содержаться в промежутке , если только ; тогда, в силу (8),

С другой стороны, так как в промежутке функция интегрируема в собственном смысле, то по доказанному при достаточно малом и сумма станет меньше . Отсюда следует (4), что и требовалось доказать.

В общем случае, когда функция абсолютно интегрируема в промежутке , мы рассмотрим функции

очевидно, неотрицательные и интегрируемые в названном промежутке. Так как

то вопрос сводится, как и выше, к уже рассмотренному случаю.

Замечание. Пусть функция непрерывна в промежутке и имеет, исключая разве лишь конечное число точек, производную , причем эта производная интегрируема (в собственном или несобственном смысле) от до ; тогда, как известно, имеет место формула типа (7):

.

Если абсолютно интегрируема, то к функции полностью приложимо изложенное в 3.