Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса
Пусть функции непрерывны в промежутке и при равномерно стремятся к предельной функции (очевидно, также непрерывной), а - функция с ограниченным изменением. Тогда Доказательство: По заданному найдется такое , что при будет для всех Тогда, в силу (25), для что, ввиду произвольности , и доказывает теорему. Пусть теперь функция непрерывна в промежутке , а функции - все с ограниченным изменением в этом промежутке. Если полные изменения этих функций в их совокупности ограничены: и при стремятся к предельной функции То Доказательство: Прежде всего, убедимся в том, что предельная функция сама также будет иметь ограниченное изменение. Разложив промежуток произвольным образом на части точками будем иметь (при любом ) Переходя к пределу здесь при , получим откуда и Составим суммы Стилтьеса
Если предположить, что промежуток при этом разложен на столь мелкие части, что колебание функции в каждой из них будет уже меньше произвольного наперед взятого числа , то в силу оценки (26), при всех (27) С другой стороны, если разбиение, выбранное под указанным условием, фиксировать, то, очевидно, при , так что найдется такое , что для будет . (28) Тогда для тех же значений будем иметь, в силу (27) и (28), откуда, ввиду произвольности , и следует требуемое заключение. Примеры и дополнения Предполагая функцию монотонно возрастающей в строгом смысле, можно доказать относительно числа , фигурирующего в формуле (24), более точное утверждение: Действительно, обозначив через и наименьшее и наибольшее значения функции в промежутке и считая , легко найдем такую часть этого промежутка, в которой границами служат числа и , так что Написав для промежутков и неравенства вида (23) интеграл складывая их с предыдущими, получим взамен (23) более точные неравенства: так что число Лежит строго между и ; а тогда найдем и строго между и , для которого и т.д. Используя формулу (11) п., формулу интегрирования по частям и теорему о среднем для интегралов Стилтьеса, очень легко заново установить вторую теорему о среднем для обыкновенных интегралов. Итак, пусть интегрируема (в смысле Римана), а монотонно возрастает в промежутке . Введем функцию ; она, как мы знаем, будет непрерывна.
Теперь последовательно имеем
что и требовалось доказать. Если монотонно возрастает в строгом смысле, то на основании сделанного в 1) замечания можно точнее сказать относительно : Доказать, что, если в точке одна из функций и непрерывна, в то время как другая в окрестности этой точки ограничена, то существование интегралов и влечет за собой существование и . С этой целью заметим, что, если при составлении стилтьесовой суммы мы будем включать точку в состав точек деления, то сумма будет слагаться из двух аналогичных сумм для частичных промежутков и ; при она будет стремиться к сумме интегралов . Пусть теперь точка не входит в число точек деления. Присоединяя к ним точку , мы от перейдем к новой сумме , про которую мы уже знаем, что при она имеет указанный предел. Таким образом, достаточно показать, что разность будет вместе с стремиться к 0. Пусть точка попадает в промежуток ; тогда сумма <="" div="" width="17"> height="17" border="0" /> отличается от суммы лишь тем, что вместо слагаемого в ней имеется два слагаемых: где и выбираются произвольно под условиями и . Положив для упрощения , сведем последнее выражение к так что (29) Когда , то один из множителей правой части бесконечно мал, в то время как второй ограничен; следовательно, что и требовалось доказать. Если обе функции и оказываются разрывными в одной интеграл той же точке , то интеграл Стилтьеса (30) заведомо не существует. Для доказательства будем различать два случая. Пусть сначала , и пределы и не равны. Тогда при построении суммы Стилтьеса мы точку не станем вводить в число точек деления; пусть, скажем, Выбрав один раз , а другой раз взяв в качестве составим две суммы и , разность которых сведется к выражению (29). Сближая точки деления, будем иметь Кроме того, точку можно выбрать так, чтобы разность была по абсолютной величине большей некоторого постоянного положительного числа. Тогда разность не стремится к 0, так что интеграл существовать не может. Если же , но их общее значение отлично от ("устранимый разрыв"), то, наоборот, включим в число точек деления; пусть . Если имеет, например, разрыв в точке справа, то, как и только что, составим две суммы и , разнящиеся лишь выбором : для точка взята произвольно между и , а для в качестве взята . По-прежнему имеем (29), интеграл рассуждение завершается аналогично.
Упражнения 3) и 4) проливают свет на тот факт, о котором говорилось в конце п.4. Пусть непрерывна, а имеет ограниченное изменение в промежутке . Опираясь на оценку (25), доказать непрерывность интеграла Стилтьеса по переменному верхнему пределу в точке , где функция непрерывна. Заключение сразу вытекает из неравенства если принять во внимание, что в точке должна быть непрерывна и вариация . Если есть класс непрерывных в промежутке функций, а - класс функций с ограниченным изменением в этом промежутке, то, как известно, каждая функция одного класса, интегрируема по каждой функции другого класса. Доказать, что ни один, ни другой из этих классов не может быть расширен с сохранением упомянутого свойства. Это, ввиду 4), почти очевидно относительно класса . Действительно, если функция имеет точку разрыва , то она заведомо не интегрируема, например, по функции с ограниченным изменением , имеющей ту же точку разрыва. Пусть теперь в промежутке имеет бесконечное полное изменение; в этом предположении построим такую непрерывную функцию , для которой интеграл (30) не существует. Если разделить промежуток пополам, то хоть в одной из половин полное изменение функции тоже будет бесконечно; разделим эту половину снова пополам интеграл т.д. По этому методу определится некоторая точка , в каждой окрестности которой не имеет ограниченного изменения. Для простоты пусть . В таком случае легко построить последовательность возрастающих интеграл стремящихся к значений : так, чтобы ряд расходился. Для этого ряда затем можно подобрать такую последовательность стремящихся к 0 чисел , чтобы и ряд (31) все же расходился. Теперь определим функцию , полагая
а в промежутках считая линейной:
Очевидно, будет непрерывна. В то же время, ввиду расходимости ряда (31), при и так что интеграл от по действительно не существует. Доказанное утверждение можно сформулировать и так: если интеграл Стилтьеса (30) для данной функции существует по любой из , то необходимо принадлежит ; аналогично, если этот интеграл по данной функции существует для любой из , то необходимо принадлежит . В первой теореме о предельном переходе под знаком интеграла Стилтьеса мы поставили требование, чтобы последовательность функций стремилась к предельной функции равномерно. Можно, однако, заменить это требование более общим условием, что эти функции ограничены в их совокупности: (Только при этом нужно ещё наперед предположить непрерывность предельной функции ). При доказательстве достаточно рассмотреть случай, когда возрастает в строгом смысле. Но для этого случая можно воспользоваться преобразованием, проведенным в п.: и, имея дело уже с римановыми интегралами, просто применить теорему Арцелла. Укажем, в заключение, другую трактовку понятия интеграла Стилтьеса, связав его с понятием аддитивной функции от промежутка. Пусть для каждой части данного промежутка определено число , причем, если промежуток точкой разложен на части и , то и
Тогда есть аддитивная функция от переменного промежутка . Предположим, что кроме неё для промежутка задана и функция точки . Разложим теперь, как обычно, промежуток точками на части , в каждой части произвольно выберем по точке и, наконец, составим сумму (32) Предел этой суммы при и есть интеграл Стилтьеса, который естественно - учитывая процесс его построения - обозначить так: (33) Если определить вторую функцию точки , положив для то, ввиду аддитивности функции , во всех случаях (34) так что сумма (32) сведется к обыкновенной стилтьесовой сумме а предел (33) - к обыкновенному интегралу Стилтьеса . Обратно, если существует последний интеграл, то, определив функцию от промежутка равенством (34) (причем легко проверить, что она окажется аддитивной), можно свести обыкновенный интеграл Стилтьеса к интегралу (33).
|
|||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-02-21; просмотров: 405; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.144.187.103 (0.048 с.) |