Вычисление интегралов Стилтьеса

Докажем следующую теорему:

Если функция интегрируема в смысле Римана в промежутке , а представлена интегралом

где функция абсолютно интегрируема в , то

(11)

Интеграл справа существует. Существование интеграла Стилтьеса при сделанных предположениях уже было доказано (п.3,3).

Остается лишь установить равенство (11).

Без умаления общности можно предположить функцию положительной.

Составим, как обычно, сумму Стилтьеса

Так как, с другой стороны, можно написать

то будем иметь

Очевидно, для будет , где означает колебание функции в промежутке . Отсюда вытекает такая оценка написанной выше разности:

Но мы уже знаем (п.3,3), что при последняя сумма стремится к 0, следовательно,

что и доказывает формулу (11).

В частности, из доказанной теоремы вытекает (если учесть замечание в п.3) такое следствие, удобное для непосредственного применения на практике:

2. При прежних предположениях относительно функции допустим, что функция непрерывна во всем промежутке и имеет в нем, исключая разве лишь конечное число точек, производную , которая в абсолютно интегрируема. Тогда

(12)

Интересно отметить, что интеграл справа в формуле (12) формально получается из интеграла слева, если, понимая символ буквально как дифференциал, заменит его выражением .

Обращаясь к случаям, когда функция оказывается разрывной (что для практики, как увидим, представляет особый интерес), начнем с рассмотрения "стандартной" разрывной функции , определяемой равенствами

Она имеет разрыв первого рода - скачок - в точке справа, причем величина скачка равна 1; в точке слева и в остальных точках функция непрерывна. Функция будет иметь такой же разрыв в точке справа; наоборот, будет иметь подобный разрыв в точке слева, причем величина скачка будет равна - 1.

Предположим, что функция непрерывна в точке , и вычислим интеграл где (при этот интеграл равен нулю).

Составим сумму Стилтьеса:

Пусть точка попадет, скажем, в -й промежуток, так что . Тогда , а при , очевидно, . Таким образом, вся сумма сводится к одному слагаемому: Пусть теперь . По непрерывности . Следовательно, существует (при )

(13)

Аналогично можно убедиться в том, что (при )

(14)

(при этот интеграл обращается в нуль).

Теперь мы в состоянии доказать теорему, в некотором смысле более общую, чем 2, а

именно, отказаться от требования непрерывности функции:

Пусть функция в промежутке непрерывна, а имеет в этом промежутке, исключая разве лишь конечное число точек, производную , которая абсолютно интегрируема в . При этом пусть функция в конечном числе точек

терпит разрыв первого рода. Тогда существует интеграл Стилтьеса и выражается формулой

(15)

Характерно здесь наличие внеинтегральной суммы, где фигурируют скачки функции в точках или - односторонние.

Для упрощения записи введем обозначения для скачков функции справа и слева:

очевидно, для

Составим вспомогательную функцию:

которая как бы вбирает в себя все разрывы функции , так что разность , как мы сейчас установим, оказывается уже непрерывной.

Для значений , отличных от всех , непрерывность функции не вызывает сомнений, ибо для этих значений непрерывны обе функции и . Докажем теперь непрерывность в точке справа. Все слагаемые суммы , кроме члена , непрерывны при справа; поэтому достаточно изучить поведение выражения . При оно имеет значение ; но таков же и его предел при :

Аналогично проверяется и непрерывность функции в точке слева.

Далее, если взять точку (отличную от всех ), в которой функция имеет производную, то вблизи этой точки сохраняет постоянное значение, следовательно, в ней и функция имеет производную, причем

.

Для непрерывной функции , по предыдущей теореме, существует интеграл Стилтьеса

Точно так же легко вычислить и интеграл

Складывая почленно эти два равенства, мы и придем к равенству (15); существование интеграла Стилтьеса от по функции устанавливается попутно (п.4,3).

Примеры

Вычислить по формуле (11) интегралы:

а)

б)

в)

Решение:

а)

б)

в)

Вычислить по формуле (15) интегралы:

а) где

б) где

Решение:

а) Функция имеет скачок 1 при и скачок - 2 при ; в остальных точках . Поэтому

б) Скачок 1 при и - 2 при (значение функции при не влияет на результат); в прочих точках .

Имеем:

Вычислить по формуле (15) интегралы:

а) б) в)

где

Решение:

Функция имеет скачки, равные 1, при и . Производная

Поэтому

а)

Аналогично,

б)

в)

Предположим, что вдоль отрезка оси расположены массы, как сосредоточенные в отдельных точках, так интеграл распределенные непрерывно. Не делая различия между ними, обозначим для через сумму всех масс, расположенных в промежутке ; сверх того, положим, . Очевидно, - монотонно возрастающая функция. Поставим себе задачей найти статический момент этих масс относительно начала координат.

Разобьем промежуток на части точками

На отрезке при содержится, очевидно, масса . Точно так же на отрезке содержится масса . Считая массу во всех случаях сосредоточенной, например, на правом конце промежутка, получим для искомого статического момента приближенной выражение

.

При стремлении к 0 всех , в пределе придем к точному результату:

. (16)

Можно было бы здесь сначала установить "элементарный" статический момент , отвечающий отрезку оси от до , а затем "просуммировать" эти элементы.

Аналогично для момента инерции тех же масс относительно начал найдем формулу

(17)

Важно подчеркнуть, что интеграл Стилтьеса дал возможность объединить одной интегральной формулой разнородные случаи непрерывно распределенных интеграл сосредоточенных масс!

Пусть непрерывно распределенные массы имеют линейную плотность ; кроме них пусть в точках расположены сосредоточенные массы . Тогда, исключая эти точки, функция имеет производную

В каждой же точке функция испытывает скачок, равный именно массе , в этой точке сосредоточенной.

Если теперь разложить интеграл (16) по формуле (15), то получим

Всмотревшись в правую часть, легко в первом члене узнать статический момент непрерывно распределенных масс, а во втором - статический момент сосредоточенных масс. Аналогичный результат получится интеграл для интеграла (17).

а) Составить выражение и построить график его для следующего распределения масс: массы величины 1 в точках и непрерывно распределенные массы с плотностью 2 в промежутке .

Решение:

В промежутке имеем:

б) То же самое - для такого распределения: массы величины 2 при и 4 и непрерывно распределенные массы с плотностью в промежутке .

Решение:

 

В промежутке имеем

в) выяснить распределение масс, если равна функции задачи 3).

Решение:

Массы величины 1 в точках и 0, в промежутке непрерывно распределенные массы с плотностью 1, в промежутке - массы с плотностью .

6. Рассмотрим другой вопрос, в котором интеграл Стилтьеса играет такую же роль, как интеграл в упражнении 4). Предположим, что на балку (рис) покоящуюся на двух опорах, кроме непрерывно распределенной нагрузки действуют и сосредоточенные силы. Расположим ось вдоль по оси балки, а ось вертикально вниз (см. рис) Не делая различий между действующими силами, обозначим для через сумму всех сил, приложенных на отрезке балки, включая интеграл реакции опор; далее, пусть . Силу называют перерезывающим усилием в сечении балки. При этом силы, направленные вниз, будем считать положительными, а вверх - отрицательными.

Поставим задачей определить так называемый изгибающий момент в произвольном сечении балки. Под этим разумеют сумму моментов всех сил, действующих на правую (или на левую) часть балки, относительно этого сечения. При этом, когда речь идет о правой части балки, момент считают положительным, если он вращает эту часть по часовой стрелке (для левой части - обратное правило).

Так как на элементе , скажем, правой части балки приложена сила , создающая элементарный момент

то, "суммируя" получим

Аналогично, исходя из левой части балки, можно было бы получить (учитывая изменение положительного направления для отсчета моментов)

(18)

Легко непосредственно усмотреть, что оба выражения изгибающего момента в действительности тождественны. Их равенство равносильно условию

которое является следствием из условий равновесия

выражающих равенство нулю суммы всех сил интеграл суммы моментов (относительно начала) всех сил, действующих на балку.

Если интенсивность непрерывно распределенной нагрузки обозначить через , то, исключая точки, где приложены сосредоточенные силы, будет

Пусть сосредоточенные силы приложены в точках . Тогда, очевидно, перерезывающее усилие именно в этих точках имеет скачки, соответственные равные . Далее, применяя, например, к интегралу (18) формулу (15), получим

.

В двух слагаемых правой части легко узнать моменты, порожденные порознь непрерывной нагрузкой интеграл сосредоточенными силами: интеграл Стилтьеса охватывает их единой интегральной формулой.

Установим ещё один факт, интересный для теории сопротивления материалов. Произведя в формуле (18) интегрирование по частям, получим

Отсюда ясно, что всюду, за исключением точек приложения сосредоточенных сил, имеет место равенство

Пусть балка длины несет "треугольную" нагрузку с интенсивностью ; кроме того, пусть к ней приложены сосредоточенная сила, равная 3, в точке , интеграл реакции опор, обе равные - 3 (они устанавливаются по закону рычага). Определить перерезывающее усилие интеграл изгибающий момент .

Решение:

Формула (15) может оказаться полезной интеграл для вычисления обычных интегралов (в смысле Римана). Проиллюстрируем это на следующем примере.

Пусть - "кусочно-полиномиальная" функция в промежутке ; это означает, что промежуток разлагается на конечное число частей точками

так, что в каждой из частей функция представляется полиномом не выше -й степени. Заменив значения функции и всех её производных в точках и нулями, обозначим через величину скачка -й производной в -й точке .

Пусть, далее, - любая непрерывная функция; положим

и, вообще,

Тогда имеет место следующая формула:

Действительно, последовательно находим

двойная подстановка исчезает, а интеграл

<="" div="">

width="288" height="51" border="0" />

Аналогично

и т.д.

Установим в заключение, с помощью формулы (11) одно полезное обобщение формулы интегрирования по частям для обыкновенных интегралов. Именно, если и обе абсолютно интегрируемы в промежутке , а и определяются интегральными формулами:

то справедлива формула

(19)

Для доказательства, по формуле (11) заменим интеграл слева интегралом Стилтьеса интеграл проинтегрируем по частям (п.5):

Остается ещё раз применить формулу (11) к последнему интегралу, чтобы прийти к (19).

Здесь функции и играют как бы роль производных от функций , не будучи ими на деле. При непрерывности функций и мы возвращаемся к обычной формуле интегрирования по частям, ибо тогда, наверное

Геометрическая иллюстрация интеграла Стилтьеса

Рассмотрим интеграл

(20)

предполагая функцию непрерывной интеграл положительной, а - лишь монотонно возрастающей (в строгом смысле); функция может иметь и разрывы (скачки).

Система параметрических уравнений

(21)

выражает некоторую кривую , вообще говоря, разрывную (рис). Если при некотором функция испытывает скачок, так что , то этим предельным значениям отвечает одно интеграл то же предельное значение , равное . Дополним кривую всеми горизонтальными отрезками, соединяющими пары точек

и

отвечающие всем скачкам функции (см. рис). Таким образом, составится уже непрерывная кривая . Покажем, что интеграл (20) представляет площадь фигуры под этой кривой, точнее, площадь фигуры, ограниченной кривой , осью и двумя крайними ординатами, отвечающими абсциссам и .

С этой целью разложим промежуток на части точками

и в соответствии с этим промежуток на оси - на части точками

Введя наименьшее и наибольшее значения и функции в -м промежутке , составим нижнюю интеграл верхнюю суммы Стилтьеса-Дарбу

Легко видеть теперь, что они представляют площади фигур, составленных из входящих интеграл из выходящих прямоугольников, между которыми содержится рассматриваемая криволинейная фигура.

Так как при стремлении к 0 всех обе суммы стремятся к общему пределу (20), то отсюда следует, что наша фигура квадрируема и площадью её служит действительно интеграл (20).

Теорема о среднем, оценки

Пусть в промежутке функция ограничена:

а монотонно возрастает. Если существует интеграл Стилтьеса от по , то имеет место формула

(22)

Это и есть теорема о среднем для интегралов Стилтьеса.

Для доказательства будем исходить из очевидных неравенств для стилтьесовской суммы :

Переходя к пределу, получим

(23)

Или

Обозначая написанное отношение через , придем к (22).

Если функция в промежутке непрерывна, то обычным путем убеждаемся в том, что есть значение функции в некоторой точке этого промежутка, интеграл формула (22) приобретает вид

, где (24)

В практике интегралов Стилтьеса наиболее важным является случай, когда функция непрерывна, а функция имеет ограниченное изменение. Для этого случая справедлива такая оценка интеграла Стилтьеса:

(25)

Где

.

Действительно, для суммы Стилтьеса будет

так что остается лишь перейти к пределу, чтобы получить требуемое неравенство.

Отсюда вытекает, в частности, и оценка близости суммы к самому интегралу Стилтьеса (при прежних предположениях относительно функций и ). Представив и в виде

и почленно вычитая эти равенства, получим

Если, как обычно, обозначить через колебание функции в промежутке , так что

для

то, применяя оценку (25) к каждому интегралу в отдельности, будем иметь

Если промежуток раздроблен на столь мелкие части, что все , где - произвольное наперед взятое число, то заключаем, что

(26)

Эти оценки будут нами использованы в следующем пункте.