Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана

Пусть функция непрерывна в промежутке , а монотонно возрастает в этом промежутке, и притом в строгом смысле. Тогда, как показал Лебег, интеграл Стилтьеса с помощью подстановки непосредственно приводится к интегралу Римана.

 

На рисунке изображен график функции . Для тех значений , при которых функция испытывает скачок (ибо мы вовсе не предполагаем обязательно непрерывной), мы дополняем график прямолинейным вертикальным отрезком, соединяющим точки и . Так создается непрерывная линия, которая каждому значению между и относит одно определенное значение между и . Эта функция , очевидно, будет непрерывной и монотонно возрастающей в широком смысле; её можно рассматривать как своего рода обратную для функции .

Именно, если ограничиться лишь теми значениями , которые функция действительно принимает при изменении от до , то является обратной для неё в обычном смысле, т.е. относит именно то значение , при котором . Но из промежутка значений

связанного со скачком функции , лишь одно значение имеет себе соответствующее значение ; другим значениям в упомянутом промежутке никакие значения , очевидно, не отвечают. Но мы условно относим и им то же значение ; геометрически это и выразилось в дополнении графика функции рядом вертикальных отрезков.

Докажем теперь, что

(10)

где последний интеграл берется в обычном смысле, его существование обеспечено, так как функция , а с нею и сложная функция , непрерывна.

С этой целью разложим промежуток на части с помощью точек деления

и составим стилтьесову сумму

.

Если положить , то будем иметь

Так как , то

.

Это выражение имеет вид римановой суммы для интеграла

Отсюда, однако, нельзя ещё непосредственно заключить, переходя к оператору, о равенстве (10), ибо даже при может оказаться, что к нулю не стремится, если, например, между безгранично сближающимися и будет заключено значение , где функция испытывает скачок. Поэтому мы будем рассуждать иначе.

Имеем

и

так что

Предположим теперь настолько малыми, чтобы колебания функции во всех промежутках были меньше произвольного наперед заданного числа . Так как

при , очевидно,

то одновременно и

В таком случае

.

Этим доказано, что

откуда и следует (10).

Несмотря на принципиальную важность полученного результата, он не дает практически удобного средства для вычисления интеграла Стилтьеса. Как осуществлять вычисление в некоторых простейших случаях, мы покажем в следующем пункте.