Свойства интеграла Стилтьеса

Из определения интеграла Стилтьеса непосредственно вытекают следующие его свойства:

При этом в случаях из существования интегралов в правой части вытекает существование интеграла в левой части.

Затем имеем

в предположении, что и существуют все три интеграла.

Для доказательства этой формулы достаточно лишь озаботиться включением точки в число точек деления промежутка при составлении суммы Стилтьеса для интеграла .

По поводу этой формулы сделаем ряд замечаний. Прежде всего, из существования интеграла следует уже существование обоих интегралов

и .

Для своеобразного предельного процесса, с помощью которого из стилтьесовской суммы получается интеграл Стилтьеса, имеет место принцип сходимости Больцано-Коши. Таким образом, по заданному ввиду существования интеграла найдется такое , что любые две суммы и Стилтьеса, которым отвечают и , разнятся меньше чем на . Если при этом в состав точек деления включить точку , а точки деления, приходящиеся на промежуток , брать в обоих случаях одними и теми же, то разность сведется к разности двух сумм Стилтьеса, относящихся уже к промежутку , ибо прочие слагаемые взаимно уничтожатся. Применяя к промежутку и вычисленным для него стилтьесовским суммам тот же принцип сходимости, заключим о существовании интеграла . Аналогично устанавливается и существование интеграла .

Особенно заслуживает быть отмеченным тот не имеющий прецедентов

факт, что из существования обоих интегралов и , вообще говоря, не вытекает существование интеграла .

Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть пример. Пусть в промежутке функции и заданы следующими равенствами:

;

Легко видеть, что интегралы

оба существуют и равны 0, ибо соответствующие им суммы Стилтьеса все равны 0: для первого это следует из того, что всегда , для второго - из постоянства функции , благодаря чему всегда

В то же время интеграл

не существует. Действительно, разобьем промежуток на части так, чтобы точка 0 не попала в состав точек деления, и составим сумму

Если точка 0 попадет в промежуток , так что , то в сумме останется только одно -е слагаемое; остальные будут нули, потому что

для .

Итак,

В зависимости от того, будет ли или , окажется или , так что предела не имеет.

Указанное своеобразное обстоятельство связано с наличием разрывов в точке для обеих функций и .

Интегрирование по частям

Для интегралов Стилтьеса имеет место формула

(9)

в предположении, что существует один из этих интегралов; существование другого отсюда уже вытекает. Формула эта носит название формулы интегрирования по частям. Докажем её.

Пусть существует интеграл . Разложив промежуток на части , выберем в этих частях произвольно по точке , так что

Сумму Стилтьеса для интеграла

можно представить в виде

Если прибавить и опять отнять справа выражение

то перепишется так:

Выражение в фигурных скобках представляет собою стилтьесову сумму для интеграла (существование которого предположено!). Она отвечает разбиению промежутка точками деления

если в качестве выбранных из промежутков точек взять , а для промежутков и , соответственно, и . Если, как обычно, положить , то теперь длины всех частичных промежутков не превзойдут . При сумма в квадратных скобках стремится к , следовательно, существует предел и для , т.е. интеграл , и этот интеграл определяется формулой (9).

Как следствие нашего рассуждения, особо отметим тот любопытный факт, что если функция в промежутке интегрируема по функции , то и функция интегрируема по функции .

Это замечание позволяет добавить ряд новых случаев существования интеграла Стилтьеса к тем, которые были рассмотрены в п.3, переменив роли функций и .