Символические обозначения плоскостей и направлений в кристаллах. Индексы Миллера.

Анизотропия кристаллов приводит к необходимости выделять и оп­ределенным образом обозначать различные плоскости и направления в кристалле. Для этого пользуются специальной системой координат, связанной с кристаллом так, что координатные оси оказываются параллельными осям симметрии кристалла или перпендикулярными плоскостям симметрии. Координаты в такой системе измеряются в единицах, равных межатомным расстояниям в данном направлении. Эти расстояния называются еще постоянными решетки или параметрами решетки. Положение какой-либо плоскости однозначно определяется координатами любых трех точек этой плоскости, например тех, в которых плоскость пересекается осями координат (рис.1.6.1).

Пусть оси I, II и III являются координатными осями и нуж-но определить плоскость S. Если, например, плоскость пе-ресекает ось I в точке на расстоянии в 4 единицы (т.е. 4 межатомных расстояния), ось II на расстоянии в 1 единицу и ось III на рас-стоянии в 2 единицы, то положение плоскости задается тройкой чисел 4,1,2. Однако в кристаллографии принято пользоваться для обозначения плоскостей не этими числами, а особыми индексами Миллера, которые определяются следующим образом. Берутся обратные значения полученных координат точек пересечения плоскостью координатных осей и эти дроби приводятся к одному знаменателю. Знаменатель отбрасывается, а числители полученных дробей и дают индексы Миллера. Для рассмотренного на чертеже примера координаты равны 4,1,2. Их обратные значения дадут дроби 1/4; 1/1; 1/2. Общий знаменатель дробей – 4. Числители или индексы Миллера оказываются равными 1, 4, 2. Эти индексы записываются в круглых скобках и читаются раздельно (142). Такой набор индексов определяет не одну плоскость, а все семейство параллельных плоскостей. Если рассматриваемая плоскость параллельна одной из осей, т.е. пересекает ее в бесконечности, то соответствующий индекс равен нулю. На рисунке 1.6.2 указаны индексы наиболее важных плоскостей кубического кристалла.

 

Направленияв кристалле также задаются индексами, которые определяются следующим образом. Вдоль определяемого направления выбирают некоторый вектор произволь­ной длины и определяют величины составляющих вектора по осям координат в единицах постоянной решетки. Тогда индексами этого направления будут три наименьших целых числа, отношения которых между собой равны отношениям составляющих вектора. Если компоненты вектора равны, например 6, 4, 8 единицам, то индексами соответствующего этому вектору направления будут 3,2, и 4. Эти числа заключаются в квадратные скобки [324].

Дефекты в кристаллах.

Атомы в кристаллах располагаются в местах, которые соответствуют их равновесным положениям. Однако это не означает, что они находятся в покое. Как в газах и жидкостях, атомы твердого тела находятся в беспрерывном тепловом движении, но характер его отличается от рассмотренных ранее движений молекул газов или жидкостей. Движения атомов в твердом теле имеют характер малых колебаний около положения равновесия, и эти движения определяют температуру твердого тела.

В реальных кристаллах в той или иной мере нарушается правильность в расположении атомов. Уже сами тепловые движения нарушают регулярность кристаллической структуры. С изменением температуры изменяется и степень нарушения периодичности решетки за счет тепловых движений атомов. Такие нарушения существуют всегда, и они служат фоном для всех других явлений, происходящих в кристаллах. Этим в первую очередь объясняется зависимость свойств кристаллов от температуры. Все другие нарушения периодичности решетки, которые не сводятся к тепловым движениям, называются дефектам и.

Все дефекты оказывают весьма существенное влияние на свойства кристаллов. Наиболее важными дефектами являются следующие:

Дефекты типа Шоттки. В реальных кристаллах некоторые узлы кри-сталлической решетки, в которых должны находиться атомы, оказываются незанятыми. Такие вакансии (отсутствие атома в узле решетки) вызывают смещение соседних атомов относительно их нормального положения, что приводит к нарушению строгой регулярности решетки вблизи вакансии. (Рис.1.7.1)

 

Дефекты по Френкелю, Они возникают в том случае, когда атом покидает свое место в узле кристаллической решетки и размещается в междоузлии в окружении атомов, расположенных на своих законных местах. Возникают сразу два дефекта (пара Френкеля), так как пустой узел и атом в междоузлии в равной мере нарушают правильность решетки (Рис.1.7.2).

Дислокации. Этот вид дефектов возникает в случае, когда между атомными плоскостями вклинивается неполная дополнительная атомная плоскость. Если дефекты по Шоттки и Френелю являются точечными, то дислокации представляют собой линейные дефекты, так как наибольшие искажения кристаллической решетки наблюдаются вдоль края липшей атомной плоскости (Рис.1.7.3).

Примеси. Некоторые места в узлах кристаллической структуры могут быть заняты посторонними атомами.

-Раствор внедрения (Рис.1.7.4);

-Раствор замещения (Рис.1.7.5).

 

Такие химические примеси оказывают очень сильное влияние на электрические свойства полупроводников и используются как инструмент регулирования электрических характеристик.

Существуют и другие виды дефектов, а также разновидности названных.

Вопросы для повторения:

1. Дать определение твердого тела.

2. Разделите твердые тела на пять классов в зависимости от типа связей между атомами.

3. Какова природа сил взаимодействия между атомами в кристалле.

4. Какое твердое тело мы называем кристаллом.

5. Дайте определение трансляционной группы и элементарной ячейки.

6. Перечислите элементы симметрии.

7. Что называется классом симметрии?

8. Перечислите по памяти 7 сингоний. Какая из них обладает наивысшей симметрией.

9. Опишите особенности сил взаимодействия в кристаллах:

- c ван-дер-ваальсовскими связями

- с ковалентной связью

- с водородной связью

- с ионной связью

- с металлической связью

2. Как обозначаются направления и плоскости в кристаллах.

Индексы Миллера.

11.Дефект в кристалле. Какие типы дефектов вы знаете?

Резюме по теме:

В процессе изучения темы мы ознакомились с понятием твердого тела, природой сил взаимодействия в твердом теле и типами связей в твердом теле. Кроме того, получили представление об основах кристаллографии и типах дефектов в кристалле.

 

Тема 2. Элементы зонной теории твердого тела. Цели и задачи изучения темы:

Целью изучения данной темы является ознакомление с эле-ментами зонной теории твердого тела (ТТ) и некоторыми положе-ниями квантовой механики лежащими в её основе.