Равновесное состояние электронного газа в проводнике в отсутствие электрического поля.

В отсутствие электрического поля электронный газ в проводнике нахо-дится в равновесном состоянии и описывается равновесными функциями распределения. Для вырожденного газа ею является функция Ферми– Дирака (рис. 5.1.1,а), для невырожденного газа – функция Максвелла–Больцмана (рис. 5.1.1,б). Из рис. 5.1.1 видно, что графики этих функций симметричны относительно оси ординат.

Это указывает на то, что количество электронов в проводнике, движущихся в противоположных направлениях, всегда одинаково, а их средняя скорость в любом направлении равна нулю. Этим объясняется тот факт, что в проводнике, содержащем сколь угодно большое количество свободных электронов, электрический ток не возникает.

Установление равновесия электронного газа происходит в результате взаимодействия электронов с дефектами решетки, которое сопровождается обменом энергии и импульса. Такими дефектами являются прежде всего тепловые колебания решетки (фононы) и примесные атомы. Взаимодействие приводит к рассеянию электронов и установлению беспорядочного движения их в проводнике.

При приложении к проводнику электрического поля Е в нем возникает электрический ток, плотность которого согласно закону Ома пропорциональна Е:

J=σE (5.1.1)

Как вы знаете, коэффициент пропорциональности σ называется удельной электропроводностью проводника.

Возникновение тока в проводнике свидетельствует о том, что под действием поля электроны приобретают направленное движение и функция распределения их по состояниям изменяется. Такое направленное движение называют дрейфом электронов, а среднюю скорость этого движения – скоростью дрейфа .

Сила, действующая на электрон со стороны поля , равна .

Скорость электрона должна бы была непрерывно возрастать, однако при своем движении электрон непрерывно сталкивается с дефектами решетки и, рассеиваясь на них теряет скорость приобретенную под воздействием поля. Действие решетки можно формально свести к действию силы сопротивления решетки равную:

(5.1.2)

Здесь физический смысл коэффициента 1/τ проясним в дальнейшем, через m_n – обозначена эффективная масса электрона.

После включения поля скорость направленного движения электронов будет возрастать, и они будут двигаться ускоренно до тех пор, пока сила сопротивления пропорциональная скорости дрейфа , не окажется равной, силе , действующей со стороны поля. Когда эти силы сравняются, результирующая сила, действующая на электрон, и ускорение его движения будут равны нулю. Начиная с этого момента направленное движение электронов будет совершаться с постоянной скоростью:

(5.1.3)

Так как заряд электрона отрицателен, то дрейф происходит в направлении противоположном .

Отношение скорости дрейфа к напряженности поля называют подвижностью носителей.

(5.1.4)

При постоянной напряженности поля Е скорость дрейфа, согласно (5.1.3), достигает постоянного значения. Это возможно лишь в том случае, если сила , с которой поле действует на электрон, компенсируется силой сопротивления . В противном случае скорость дрейфа непрерывно росла бы и даже для малых полей могла бы стать сколь угодно большой. Подобная картина имела бы место при движении свободных электронов сквозь идеально правильную решетку со строго периодическим потенциалом. Электропроводность в этом случае была бы бесконечной, а электрическое сопротивление равнялось бы нулю.

Выясним теперь физический смысл коэффициента τ.

Предположим, что после того как скорость направленного движения электронов достигла стационарного значения , поле выключено. Вследствие столкновения электронов с дефектами решетки эта скорость начнет уменьшаться, и электронный газ будет переходить в равновесное состояние. Такие процессы установления равновесия в системе, ранее выведенной из этого состояния, называются релаксацией. Полагая qE=0 получим уравнение, описывающее переход электронного газа в равновесное состояние – процесс его релаксации:

V_Д(t) = V_Д ×е^-1/t, (5.1.5)

где V_Д(t) – скорость направленного движения электронов по истечении времени t после выключения поля.

Из уравнения (5.1.5) следует, что τ характеризует скорость установления в системе равновесного состояния: чем меньше τ, тем быстрее возбужденная система приходит в равновесие. За время t равное τ скорость направленного движения электронов уменьшается в е» 2.7 раза. Время t называется временем релаксации. Для чистых металлов τ = 10^-14с.

Движение электронов в кристалле удобно описывать, используя понятие длины свободного пробега. Средний отрезок пути l, который проходит электрон между двумя последовательными актами рассеяния, принимается за длину свободного пробега электрона.

Учитывая полное число столкновений n, необходимое для полного прекращения направленного движения электрона, время релаксации можно записать как

t = n×l /v (5.1.6)

Тот факт что под действием электрического поля в проводнике возникает дрейф свободных носителей заряда, приводящий к появлению электрического тока, свидетельствует о том, что поле изменяет характер распределения свободных электронов по состояниям, т.е. вид функции распределения f(E), так как равновесная функция распределения f₀(E) не может привести к появлению тока. На рисунке 5.1.1,а,б пунктиром показаны графики функций распределения для электронов после установления постоянной скорости дрейфа.

Из рис. 5.1.1 видно, что влияние внешнего поля на функцию распределения электронов по состояниям сводится к смещению всего распределения на величину V _Д в направлении противоположном .

(5.1.7)