Эффект Холла в полупроводнике.

Допустим, что по полупроводнику, имеющему форму прямоугольной пластинки (рис. 6.1.1), под действием электрического поля Е протекает ток с плотностью

J= - e×n×V=s×E , (6.1.6)

Если полупроводник однородный, то эквипотенциальные поверхности расположены перпендикулярно направлению электрического поля Е, а следовательно и вектору плотности тока J. Поэтому разность потенциалов между точками А и Б на рис 6.1.1, лежащими в плоскости, перпендикулярной J; будет равна нулю.

Теперь поместим полупроводник в магнитное поле, перпендикулярное вектору тока, как это показано на рис. 6.1.1. В этом случае на носитель заря-да, движущийся с дрейфовой скоростью v, будет действовать сила Лоренца

, (6.1.7)

направленная перпендикулярно v и В. Здесь плюс соответствует дырке, а минус–электрону.

Но

, (6.1.8)

поэтому , (6.1.9)

Из (6.1.9) следует, что направление силы Лоренца не зависит от знака носителя заряда, а определяется направлением векторов Е и В или J и В. Следовательно, если скорость носителей заряда определяется внешним электрическим полем, то электроны и дырки под действием силы Лоренца отклоняются в одну и ту же сторону.

Для выбранных направлений В и Е, представленных на рис. 6.1.2, сила Лоренца F направлена вверх. Под действием этой силы дырки в акцепторном полупроводнике (рис. 6.1.2,а) и электроны в донорном полупроводнике (рис. 6.1.2,б) будут оттеснены к верхней поверхности образца, вследствие чего на нижней поверхности образца возникает их дефицит, что обусловит противоположный по знаку заряд по отношению к заряду на верхней поверхности.

В результате разделения зарядов появится электрическое поле напря-женностью Е_н, перпендикулярное направлению магнитного поля. Направле-ние этого поля, которое называют полем Холла, зависит от знака носителей заряда. В нашем случае поле Холла Е_н направлено вниз в р -образце и верх в n -образце. Явление возникновения в полупроводнике с текущим по нему током поперечного электрического поля под действием магнитного поля называют эффектом Холла.

Напряженность поля Е_н будет расти до тех пор, пока сила, обуслов-ленная этим полем, не скомпенсирует силу Лоренца:

е×Е_н= е× v ×В, (6.1.10)

v – дрейфовая скорость носителя заряда.

При этом условии носители заряда движутся вдоль образца под дейст-вием только продольного электрического поля Е, а следовательно, плот-ность тока J по направлению совпадает с напряженностью Е. Вектор напря-женности суммарного электрического поля Е^¢=Е+Е_н, как следует из рис. 6.1.3 повернут на некоторый угол j относительно направления тока J. Угол, заключенный между J и Е^¢, носит название угла Холла. Теперь эквипотенциальные поверхности будут повернуты на угол j относительно первоначального положения, поэтому на образце между точками А и Б (рис. 6.1.1) появится разность потенциалов, называемая ЭДС Холла. Если ширина образцов b, то холловская разность потециалов

U_н=E_н×_×b= - v ×B×b. (6.1.11)

Если воспользоваться (6.1.12), будем иметь:

. (6.1.12)

Величину R в (6.1.12) принято называть коэффициентом ( или посто-янной) Холла, который в случае электронов равен:

. (6.1.13)

 

Если носителями заряда являются дырки, концентрация которых равна p, то, как следует из рис. 6.1.2,а eE_н=e×v×B, поэтому

. (6.1.14)

Как следует из равенств (6.1.13) и (6.1.14), коэффициент Холла об-ратно пропорционален концентрации носителей заряда, а знак его совпа-дает со знаком носителей заряда. При таком рассмотрении эффекта Холла, не принималось во внимание статистическое распределение носителей заряда по энергиям и не учитывалась зависимость времени релаксации от энергии.

Угол Холла j (рис. 6.1.3) можно определить из соотношения

(6.1.15)

Причем знак tg j определяется направлением поля Холла: положите-лен для дырочного полупроводника и отрицателен − для электронного. Если магнитное поле слабое, то можно считать, что

, (6.1.16)

откуда следует, что

. (6.1.17)

Учитывая, что для электронного полупроводника

s _n= e×n×µ_n, (6.1.18)

То угол Холла:

j_n=R_ns_nB=µ_nB. (6.1.19)

Аналогично для дырочного полупроводника

j_p=R_ps_pB=µ_pB. (6.1.20)

При выводе (6.1.13) и (6.1.14) допускалось, что все носители тока в проводнике обладают одной и той же скоростью V. Такое допущение может быть оправдано для металлов и вырожденных полупроводников и совершен-но не применимо к невырожденным полупроводникам, скорость носителей в которых распределена по закону Максвелла, а время релаксации τ зависит от энергии. Тогда выражения (6.1.13) и (6.1.14) для коэффициента Холла будут иметь вид:

(6.1.21)

(6.1.22)

Для дырочной и электронной проводимости соответственно, где коэф-фициент r -носит название Холл-фактора.