Тема 4.3. Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств.

Графическое решение уравнений с одной переменной.

На практике довольно часто оказывается, что решение уравнения сопряжено с громоздкими выкладками. В таких случаях прибегают к тому или иному методу приближенного решения уравнения. Мы рассмотрим графический метод, который, хотя и не обеспечивает хорошей точности, но является одним из наиболее простых. Он заключается в следующем: строят график функции и находят абсциссы точек пересечения графика с осью . Так, для решения уравнения достаточно построить график функции и найти абсциссы точек пересечения этого графика с осыо .

Однако во многих случаях указанный выше метод графического решения уравнения не очень удобен. Так, для нахождения корней уравнения потребовалось бы построить график функции , а это достаточно трудная задача. В подобных случаях уравнение преобразуют к виду , затем строят графики функций и (если, разумеется, это проще, чем построение графика функции ) и находят абсциссы точек пересечения построенных графиков.

Так, для решения уравнения можно преобразовать уравнение к виду , затем построить графики функций и и найти абсциссы точек пересечения этих графиков.

Ясно, что уравнение может быть преобразовано к виду разными способами. Например, уравнение можно преобразовать в одно из следующих уравнений: , , .

В первом случае надо строить графики функций и , во втором и , в третьем и .

Пример 1. Решить графически уравнение .

Заданное уравнение целесообразно переписать в виде . Теперь решение уравнения может быть сведено к нахождению абсцисс точек пересечения графиков функций и . На рис. 1 в одной системе координат построены графики функций и . Определяем абсциссы точек А и В пересечения этих графиков ; . Таким образом, заданное
уравнение имеет два корня: -1; 2.

Пример 2. Решить графически уравнение .

Построим в одной системе координат графики функций и (рис. 2). Они пересекаются в точке А, абсцисса которой приближенно равна 1,3. Значит, заданное уравнение имеет единственное решение .

Метод интервалов.

Множество решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем.

Графическое решение систем уравнений

Решить графически систему уравнений - это значит найти координаты общих точек графиков уравнений, построенных в одной системе координат.

Графическое решение системы неравенств

Решить графически систему неравенств – это значит найти область решений, координаты которой будут удовлетворять всем неравенствам системы.

Примеры выполнения заданий.

Пример 1.
Решение:
1. - уравнение окружности с центром в точке (-1; -2) и радиусом r = 2 2. у = 0 – уравнение оси Ох Общая точка: А(-1:0), значит х = -1, у = 0. Проверка: х=-1, у=0, то система примет вид: , , Значит, (-1;0) решение системы
Ответ:	(-1;0)
Пример 2.
Решение:
у = х^2- квадратичная функция, график – парабола, ветви направлены вниз у = 2х - линейная функция, график – прямая 1. А(0;-1), неравенство примет вид: 0-1<0(истинно), значит координаты всех точек внутренней области параболы без границы являются решениями первого неравенства. 2. В(-1;0), неравенство примет вид: 0+2>0(истинно), значит координаты всех точек области над прямой без границы являются решениями второго неравенства.
Ответ:	Т.о, координаты всех точек во внутренней области параболы, но лежащие выше прямой без границы являются решениями системы неравенств.