Неравенства. Основные приемы их решения.

Линейные неравенства.

Рассмотрим неравенства вида (соответственно , , ), где — переменная, а и - выражения с переменной . Если переменной придать какое-либо числовое значение, то получится числовое неравенство, выражающее либо истинное, либо ложное высказывание. Пусть, например, дано неравенство . При получаем - истинное высказывание (верное числовое неравенство); при получаем - ложное высказывание.

Всякое значение переменной, при котором данное неравенство с переменной обращается в верное числовое неравенство, называется частным решением неравенства.

Решить неравенство с переменной — значит найти все его частные решения. Множество всех частных решений образует решение неравенства.

Два неравенства с одной переменной х называются равносильными, если решения этих неравенств совпадают.

Основная идея решения неравенства состоит в следующем: мы заменяем данное неравенство другим, более простым, но равносильным данному. Такие замены осуществляются на основе следующих утверждений.

Если какой-либо член неравенства с переменной перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, оставив при этом без изменения знак неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.

Если обе части неравенства с переменной умножить или разделить на одно и то же положительное число, оставив при этом без изменения знак неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.

Если обе части неравенства с переменной умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, заменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

Ниже на примерах мы покажем применение сформулированных утверждений для решения линейных неравенств, т.е. неравенств вида (соответственно , , ), где и - действительные числа, и для решения неравенств, сводимых к линейным.

Пример 1. Решить неравенство .

Согласно утверждению 1, данное неравенство равносильно неравенству (слагаемое 7 перенесено из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, а знак данного неравенства оставлен без изменения).

Разделам обе части неравенства на положительное число 2, а знак неравенства оставим без изменения. Тогда на основании утверждения 2 получим неравенство , равносильное неравенству .

Итак, неравенства и равносильны. Множество решений неравенства , а значит, и заданного неравенства есть промежуток . Заметим, что решение данного неравенства можно записать в виде .

Пример 2. Решить неравенство .

Раскрыв скобки, получим

,

.

Далее, имеем

,

Разделим теперь обе части неравенства на отрицательное число и изменим знак неравенства. Согласно утверждению 3, получим равносильное неравенство . Ответ можно также записать в виде .

Пример 3. Решить неравенство

.

Освободимся от знаменателей, для чего умножим обе части на положительное число 6:

Далее, имеем

,

,

.

Таким образом, — решение данного неравенства.

Пример 4. Решить неравенство

.

Последовательно получаем

,

,

Последнее неравенство верно при любом значении х, так как получается истинное высказывание 0 > —55. Поэтому решением данного неравенства является вся числовая прямая.

Пример 5. Решить неравенство

.

Имеем:

,

,

.

Последнее неравенство не имеет решений, так как при любом значении переменной х получается ложное высказывание 0>2. Значит, и данное неравенство не имеет решений.