Уравнения и системы уравнений.

Линейные уравнения.

Уравнение вида , где — переменная, а и — действительные числа, причем , называется линейным уравнением. Числа и называются коэффициентами уравнения. Решение линейных уравнений основано на двух сформулированных выше теоремах.

Пример 1. Решить уравнение .

Данное уравнение — линейное; здесь , . Решение проведем двумя способами.

I способ. Согласно теореме 1, уравнение равносильно данному. Разделим обе части этого уравнения на коэффициент при , что по теореме 2 приводит к равносильному уравнению; тогда получим — корень уравнения.

II способ. Умножим обе части заданного уравнения на 15 (такое преобразование называется освобождением от знаменателей): . В силу теоремы 2, полученное уравнение равносильно данному. Далее, имеем: , .

Пример 2. Решить уравнение .

Освободимся от знаменателей, для чего умножим обе части уравнения на 21:

.

Далее, имеем:

;

;

;

.

Пример 3. Решить уравнение .

Последовательно получаем:

;

.

Перенесем все члены уравнения из правой части уравнения в левую, изменив при этом знаки:

.

После приведения подобный членов получаем

,

,

.

Уравнения с переменной в знаменателе.

Рассмотрим уравнения вида , где — переменная; и — действительные числа; — многочлен, а также уравнения, сводимые к указанному виду. Эти уравнения не являются линейными, но в процессе решения они сводятся к линейным.

Решение уравнения основано на следующем утверждении: дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен, от нуля (на нуль делить нельзя!). Это записывают так:

Таким образом, чтобы решить уравнение , нужно сначала найти корень линейного уравнения , а затем выяснить, является ли при найденном значении переменной истинным высказывание . Если это высказывание истинно, то найденный корень линейного уравнения является и корнем уравнения ; если же это высказывание ложно (истинно высказывание ), то уравнение не имеет, корней.

Пример 1. Решить уравнение .

Воспользовавшись указанным выше условием равенства дроби нулю, получим систему

Из уравнения находим . Так как высказывание истинно, то — корень заданного уравнения.

Пример 2. Решить уравнение .

Имеем .

Из уравнения находим . Высказывание ложно; значит, данное уравнение не имеет корней.

Пример 3. Решить уравнение .

Имеем

,

,

,

.

Из уравнения находим . Высказывание истинно; значит, — корень данного уравнения.

Основные приемы их решения.

Уравнение вида , где a, b, c - действительные числа, причем a≠0, называют квадратным уравнением.

Числа a, b, c носят следующие названия a - первый коэффициент, b - второй коэффициент, c - свободный член.

Выражение D = b²- 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения.

Система вида , называется системой нелинейных уравнений с двумя переменными, если хотя бы одно из уравнений нелинейное.

Решением системы нелинейных уравнений является пара чисел (a, b), при подстановке которой в исходную систему получаются верные тождества: .

Нелинейные системы не имеют универсального способа решения, поэтому при решении конкретной системы уравнений нужно учитывать особенности заданных уравнений, переходя к равносильным системам.

Основные методы решения систем нелинейных уравнений:

· метод подстановки;

· метод введения новых переменных;

· графический метод;

· метод алгебраического сложения;

· метод почленного умножения и деления;

· метод математического подбора.

Системы нелинейных уравнений: примеры и достаточные знания, необходимые для решения заданий.

Метод подстановки.

Метод подстановки: одно из уравнений системы преобразуют к виду, разрешенному относительно одной переменной, например у выражают через х. Далее, полученное выражение подставляют вместо у во второе уравнение. В результате получается уравнение с одной переменной х. Находят корни этого уравнения, а затем, воспользовавшись выражением у через х, находят соответствующие значения у.

Пример 1. Решить систему уравнений

Из первого уравнения находим . Подставим выражение вместо х во второе уравнение системы; тогда

и, далее,

, , , .

Соответствующие значения х найдем из уравнения . Если у = 0, то х = 10; если у = - 4, то х = - 2. Итак, система имеет два решения: (- 2; - 4); (10; 0).

Пример 2. Решить систему уравнений

Из второго уравнения системы находим . Подставив выражение вместо у в первое уравнение системы, имеем

,

28 = 1.

Полученное высказывание является ложным при любом х. Это значит, что заданная система уравнений не имеет решений.

Метод сложения.

Суть этого метода поясним на примерах.

Пример 1. Решить систему уравнений

(*)

Умножив обе части второго уравнения системы на 3, получим систему

(**)

равносильную данной на основании теоремы 1.

Сложим теперь оба уравнения полученной системы. Согласно теореме 2, система

(***)

равносильна системе (**). Система (***) преобразуется к виду

Из уравнения находим х=5. Подставив это значение в уравнение 2х+3у=7, получим у = -1.

Итак, (5; - 1) —решение системы (***), а значит, и решение равносильной ей системы (*).

Тема 4.2. Неравенства.