Тема 1.1. Развитие понятия о числе.

Конспект лекций

 

по дисциплине: ОД.03. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия

 

(1 курс 1 семестр)

 

Составитель: Преподаватель _______________Орлова О.А.

Утверждено на заседании ЦК естественнонаучных дисциплин   Протокол № ___от «___» _________ 201_г. Председатель ЦК   _______________

 

 

 

Содержание:

Раздел 1. Алгебра. 3

Тема 1.1. Развитие понятия о числе. 3

Действительные числа. 3

Комплексные числа. 4

Нахождение приближенных значений величин и погрешностей вычислений. 5

Тема 1.2. Корни, степени. 9

Степени с действительными показателями. 9

Решение иррациональных уравнений. 10

Решение показательных уравнений. 11

Тема 1.3. Логарифм. 11

Логарифм числа. 11

Виды логарифмов. 11

Действия с логарифмами. 12

Нахождение значений логарифма. 12

Переход к новому основанию. 12

Решение логарифмических уравнений. 13

Логарифмирование и потенцирование выражений. 13

Раздел 2. Основы тригонометрии. 14

Тема 2.1. Основные понятия. 14

Радианная мера угла. 14

Синус, косинус, тангенс и котангенс числа. 14

Тема 2.2. Основные тригонометрические тождества. 15

Основные тригонометрические тождества. 15

Формулы приведения. 17

Формулы сложения. 17

Формулы удвоения. 18

Формулы половинного угла. 18

Тема 2.3. Преобразования простейших тригонометрических выражений. 18

Формула суммы тригонометрических функций. Т ангенс половинного аргумента. 18

Тема 2.4. Арксинус, арккосинус, арктангенс числа. 20

Обратные тригонометрические функции. 20

Тема 2.5. Тригонометрические уравнения и неравенства. 20

Простейшие тригонометрические уравнения. 20

Решение тригонометрических уравнений. 21

Простейшие тригонометрические неравенства. 21

Раздел 3. Функции и графики. 23

Тема 3.1. Функции. Свойства функций. 23

Функции. Построение графиков функций. Свойства функции. 23

Сложная функция (композиция). 26

Обратные функции. График обратной функции. 26

Тема 3.2. Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции. Обратные тригонометрические функции. 28

Степенная функция, свойства и график. 28

Линейная, квадратичная, кусочно-линейная и дробно-линейная функции. 28

Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики. 28

Определения тригонометрических функций, их свойства и графики. 30

Обратные тригонометрические функции. 30

Преобразования графиков функций. 31

Раздел 4. Уравнения и неравенства. 33

Тема 4.1. Уравнения и системы уравнений. 33

Уравнения и системы уравнений. 33

Основные приемы их решения. 34

Тема 4.2. Неравенства. 36

Неравенства. Основные приемы их решения. 36

Тема 4.3. Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств. 42

Метод интервалов. 43

Множество решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем. 43

 

Раздел 1. Алгебра.

Тема 1.1. Развитие понятия о числе.

Действительные числа.

Множество вещественных чисел состоит из рациональных и иррациональных чисел. Рациональным называется число, которое можно представить в виде , где и - целые числа, причем . Иррациональным называется всякое вещественное число, которое не является рациональным. Всякое рациональное число является либо целым, либо представляется конечной или периодической бесконечной десятичной дробью. Иррациональное же число представляется непериодической бесконечной десятичной дробью. Например, рациональные числа и можно представить в виде следующих десятичных дробей: ; ; иррациональные числа и - в виде непериодических бесконечных десятичных дробей:

Обозначение некоторых числовых множеств:

- множество натуральных чисел – числа, используемые при счете,

- множество целых чисел – это натуральные числа, числа, противоположные натуральным и число 0,

- множество рациональных чисел – целые числа и дроби (положительные и отрицательные),

- множество действительных чисел – рациональные и иррациональные числа.

Перечислим основные свойства вещественных чисел.

I. Сложение и умножение вещественных чисел.

Для любой пары и вещественных чисел определены и при том единственным образом два вещественных числа и , называемых соответственно их суммой и произведением, причем имеют место следующие свойства. Каковы бы ни были числа , и :

1⁰. - переместительный закон сложения.

2⁰. - сочетательный закон сложения.

3⁰. - переместительный закон умножения.

4⁰. - сочетательный закон умножения.

5⁰. - распределительный закон умножения относительно сложения.

6⁰.Существует единственное число 0 такое, что для любого числа .

7⁰. Для любого числа существует такое число , что .

8⁰. Существует единственное число такое, что для любого числа имеет место равенство .

9⁰. Для любого числа существует такое число , что ; число обозначают также символом .

II. Сравнение вещественных чисел.

Для любых двух вещественных чисел и установлено одно из отношений: ( равно ), ( больше ) или . Отношение = обладает свойством: если и , то .

Отношение > обладает следующими свойствами. Каковы бы ни были числа , и :

10⁰. Если и , то .

11⁰. Если и , то .

12⁰. Если и , то .

Вместо пишут также ( меньше ). Запись или, что то же, ) означает, что либо , либо . Соотношения , , , называют неравенствами. Неравенства и - строгие неравенства.

III. Непрерывность вещественных чисел.

13⁰. Пусть X и Y – два множества, состоящие из вещественных чисел. Тогда, если для любых чисел и выполняется неравенство , то существует хотя бы одно число такое, что для всех таких и выполняется неравенство .

(Свойством непрерывности не обладает множество только рациональных чисел.)

 

Из свойств I, II и III вытекают все остальные свойства вещественных чисел:

14⁰. Число является решением уравнения .

- разность чисел и , обозначается .

15⁰. Число является решением уравнения , если .

Число называется частным чисел и , обозначается .

16⁰. Если , то .

17⁰. Если и , то .

18⁰. Если и , то .

19⁰. .

20⁰. .

21⁰. .

22⁰. .

23⁰. Если и , то .

24⁰. Если и , то .

25⁰. Если , то .

26⁰. Если , то .

 

Свойства I-III называются аксиомами вещественных чисел.

Комплексные числа.

Тема 1.2. Корни, степени

Примеры выполнения заданий.

Пример 1. Вычислить: .

Решение:

Ответ: 8.

Пример 2. Вычислить: .

Решение:

Ответ: 15.

Пример 3. Вычислить:

Решение:

Ответ: 5.

Пример 4. Упростить: .

Решение:

Ответ: а^-2в¹³.

Пример 5.

Тема 1.3. Логарифм.

Логарифм числа.

Логарифмом числа по основанию называется показатель степени, в которую надо возвести основание , чтобы получить число .

Из определения следует, что нахождение равносильно решению уравнения . Например, потому что

Виды логарифмов.

Наиболее широкое применение нашли следующие виды логарифмов.

· Натуральные логарифмы: , основание: число Эйлера (е)

· Десятичные логарифмы: , основание: число 10

Действия с логарифмами.

Основное логарифмическое тождество

Из равенства двух логарифмов следует равенство логарифмируемых выражений. В самом деле, если , то , откуда, согласно основному тождеству:

Логарифмы единицы и числа, равного основанию логарифма

Логарифм произведения, частного от деления, степени и корня:

Произведение
Частное от деления
Степень
Корень

Переход к новому основанию.

Примеры выполнения заданий.

Пример.	Решить уравнение:
Решение:
, х+1=2^4 х+1=16 х=15 Проверка: log2(15+1)=4, log216=4, 16=2^4 16=16 – верный корень
Ответ:	х=15
Пример.	Решить уравнение
Решение:
Проверка - левая часть 3=3 х = 1 – корень уравнения - левая часть не имеет смысла х = -5 не является корнем
Ответ:	х = 1

Тема 2.1. Основные понятия.

Радианная мера угла.

 

Примеры выполнения заданий.

Пример 1.	Доказать тождество:
Решение:
- правая часть
Ответ:	тождество верно
Пример 2.	Доказать тождество:
Решение:
Ответ:	тождество верно

Формулы приведения.

Формулы сложения.

Формулы удвоения

Формулы половинного угла.

Тема 2.3. Преобразования простейших тригонометрических выражений.

Формула суммы тригонометрических функций. Т ангенс половинного аргумента.

Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение

 

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму

Примеры выполнения заданий.

Пример 1. Преобразовать в произведение: .

Решение:

В необходимую формулу подставим данные значения:

Ответ:

Пример 2. Преобразовать в сумму:

Решение:

В необходимую формулу подставим данные значения:

Ответ:

Пример 3. Доказать тождество:

Решение:

Разложим произведение на сумму по формуле, получим:

Подставим полученное выражение, получим

- преобразуем по формуле , получим

Так как , то

Ответ: что и требовалось доказать.

Примеры выполнения заданий.

Пример 1.	Найти область определения функции
Решение:
обл. опр. х + 1 ≥ 0 х ≥ -1
Ответ:	: х ≥ -1
Пример 2.	Определить, является ли функция чётной или нечётной
Решение:
чётная
Пример 3.	Доказать, что функция периодическая с периодом
Доказательство: функция периодическая.

Определения тригонометрических функций, их свойства и графики.

Основные приемы их решения.

Уравнение вида , где a, b, c - действительные числа, причем a≠0, называют квадратным уравнением.

Числа a, b, c носят следующие названия a - первый коэффициент, b - второй коэффициент, c - свободный член.

Выражение D = b²- 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения.

Система вида , называется системой нелинейных уравнений с двумя переменными, если хотя бы одно из уравнений нелинейное.

Решением системы нелинейных уравнений является пара чисел (a, b), при подстановке которой в исходную систему получаются верные тождества: .

Нелинейные системы не имеют универсального способа решения, поэтому при решении конкретной системы уравнений нужно учитывать особенности заданных уравнений, переходя к равносильным системам.

Основные методы решения систем нелинейных уравнений:

· метод подстановки;

· метод введения новых переменных;

· графический метод;

· метод алгебраического сложения;

· метод почленного умножения и деления;

· метод математического подбора.

Системы нелинейных уравнений: примеры и достаточные знания, необходимые для решения заданий.

Метод подстановки.

Метод подстановки: одно из уравнений системы преобразуют к виду, разрешенному относительно одной переменной, например у выражают через х. Далее, полученное выражение подставляют вместо у во второе уравнение. В результате получается уравнение с одной переменной х. Находят корни этого уравнения, а затем, воспользовавшись выражением у через х, находят соответствующие значения у.

Пример 1. Решить систему уравнений

Из первого уравнения находим . Подставим выражение вместо х во второе уравнение системы; тогда

и, далее,

, , , .

Соответствующие значения х найдем из уравнения . Если у = 0, то х = 10; если у = - 4, то х = - 2. Итак, система имеет два решения: (- 2; - 4); (10; 0).

Пример 2. Решить систему уравнений

Из второго уравнения системы находим . Подставив выражение вместо у в первое уравнение системы, имеем

,

28 = 1.

Полученное высказывание является ложным при любом х. Это значит, что заданная система уравнений не имеет решений.

Метод сложения.

Суть этого метода поясним на примерах.

Пример 1. Решить систему уравнений

(*)

Умножив обе части второго уравнения системы на 3, получим систему

(**)

равносильную данной на основании теоремы 1.

Сложим теперь оба уравнения полученной системы. Согласно теореме 2, система

(***)

равносильна системе (**). Система (***) преобразуется к виду

Из уравнения находим х=5. Подставив это значение в уравнение 2х+3у=7, получим у = -1.

Итак, (5; - 1) —решение системы (***), а значит, и решение равносильной ей системы (*).

Тема 4.2. Неравенства.

Линейные неравенства.

Рассмотрим неравенства вида (соответственно , , ), где — переменная, а и - выражения с переменной . Если переменной придать какое-либо числовое значение, то получится числовое неравенство, выражающее либо истинное, либо ложное высказывание. Пусть, например, дано неравенство . При получаем - истинное высказывание (верное числовое неравенство); при получаем - ложное высказывание.

Всякое значение переменной, при котором данное неравенство с переменной обращается в верное числовое неравенство, называется частным решением неравенства.

Решить неравенство с переменной — значит найти все его частные решения. Множество всех частных решений образует решение неравенства.

Два неравенства с одной переменной х называются равносильными, если решения этих неравенств совпадают.

Основная идея решения неравенства состоит в следующем: мы заменяем данное неравенство другим, более простым, но равносильным данному. Такие замены осуществляются на основе следующих утверждений.

Если какой-либо член неравенства с переменной перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, оставив при этом без изменения знак неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.

Если обе части неравенства с переменной умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, заменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

Ниже на примерах мы покажем применение сформулированных утверждений для решения линейных неравенств, т.е. неравенств вида (соответственно , , ), где и - действительные числа, и для решения неравенств, сводимых к линейным.

Пример 1. Решить неравенство .

Согласно утверждению 1, данное неравенство равносильно неравенству (слагаемое 7 перенесено из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, а знак данного неравенства оставлен без изменения).

Разделам обе части неравенства на положительное число 2, а знак неравенства оставим без изменения. Тогда на основании утверждения 2 получим неравенство , равносильное неравенству .

Итак, неравенства и равносильны. Множество решений неравенства , а значит, и заданного неравенства есть промежуток . Заметим, что решение данного неравенства можно записать в виде .

Пример 2. Решить неравенство .

Раскрыв скобки, получим

,

.

Далее, имеем

,

Разделим теперь обе части неравенства на отрицательное число и изменим знак неравенства. Согласно утверждению 3, получим равносильное неравенство . Ответ можно также записать в виде .

Пример 3. Решить неравенство

.

Освободимся от знаменателей, для чего умножим обе части на положительное число 6:

Далее, имеем

,

,

.

Таким образом, — решение данного неравенства.

Пример 4. Решить неравенство

.

Последовательно получаем

,

,

Последнее неравенство верно при любом значении х, так как получается истинное высказывание 0 > —55. Поэтому решением данного неравенства является вся числовая прямая.

Пример 5. Решить неравенство

.

Имеем:

,

,

.

Последнее неравенство не имеет решений, так как при любом значении переменной х получается ложное высказывание 0>2. Значит, и данное неравенство не имеет решений.

Квадратные неравенства.

Рассмотрим функцию , где . Ее графиком, как известно, является парабола с ветвями, направленными вверх. Эта парабола может: 1) пересечь ось Ох в двух точках (рис. 6, а) — так обстоит дело в случае, если дискриминант D трехчлена положителен; 2) иметь с осью Ох только одну общую точку (рис. 6, б) — в случае D = 0; 3) лежать выше оси Ох (рис. 6, в) — в случае D < О.

На основании графической иллюстрации можно сделать следующие выводы о решении квадратного неравенства:

1) есди и , то решением неравенства служит объединение двух открытых лучей: ; , а решением неравенства служит интервал , здесь х₁, х₂ — корни трехчлена, причем х₁ <х₂;

2) если и , то неравенство справедливо при всех , а неравенство справедливо при всех х; неравенство не имеет решений, а неравенство выполняется лишь в точке ;

3) если и , то неравенства и выполняются при всех х; неравенства и не имеют решений.

Запоминать этот вывод не следует; его всегда можно получить с помощью приведенной выше графической иллюстрации.

Пример 1. Решить неравенство:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

а) Из уравнения находим ; . Неравенству удовлетворяют все значения х, лежащие вне промежутка между корнями: или .

б) Прежде всего, умножив обе части неравенства на , получим и, далее, (х+2)²>0. Этому неравенству удовлетворяют любые значения х, кроме .

в) Здесь . Значит, неравенство выполняется при всех х.

г) Прежде всего, умножив обе части неравенства на , получим . Здесь ; значит, неравенство не имеет решений.

Пример 2. Найти область определения функции

.

Задача сводится к решению неравенства , поскольку выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным. Далее, имеем . Корни трехчлена таковы: ; . Решением неравенства служит отрезок .

Пример 3. Решить неравенство .

Имеем

,