Решение логарифмических уравнений.

 

Уравнения, содержащие неизвестное под знаком логарифма, называются логарифмическими.

Такие уравнения решаются:

а) с помощью определения логарифма,

б) с помощью теорем о логарифмах,

с) с помощью утверждений о том, что если положительные числа равны, то и равны их логарифмы при данном основании и обратно, если логарифмы чисел равны, то равны и соответствующие им числа.

Во всех случаях полученные решения необходимо проверить подстановкой их в данное уравнение и исключить посторонний корень.

Часто используется формула перехода от одного основания к другому

Примеры выполнения заданий.

Пример.	Решить уравнение:
Решение:
, х+1=2^4 х+1=16 х=15 Проверка: log2(15+1)=4, log216=4, 16=2^4 16=16 – верный корень
Ответ:	х=15
Пример.	Решить уравнение
Решение:
Проверка - левая часть 3=3 х = 1 – корень уравнения - левая часть не имеет смысла х = -5 не является корнем
Ответ:	х = 1

Логарифмирование и потенцирование выражений.

Раздел 2. Основы тригонометрии.

Тема 2.1. Основные понятия.

Радианная мера угла.

 

Синус, косинус, тангенс и котангенс числа.

Определение тригонометрических функций:

Определение: синусом угла поворота называется ордината точки, изображающей данный угол.

Определение: косинусом угла поворота называется абсцисса точки, изображающей данный угол.

Определение: тангенсом угла поворота называется отношение ординаты точки, изображающей угол, к ее абсциссе.

Определение: котангенсом угла поворота называется отношение абсциссы точки, изображающей данный угол к ее ординате.

Значения тригонометрических функций некоторых углов

Градусы	Аргумент
0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°
Радианы
Функция								-1
						-1
					Не сущ.		Не сущ.
	Не сущ.					Не сущ.

Тема 2.2. Основные тригонометрические тождества.

Основные тригонометрические тождества.

При доказательстве тригонометрических тождеств обычно используют следующие способы:

1. Выражение, стоящее в одной части равенства, с помощью тождественных преобразований приводят к выражению, стоящему в другой части равенства.

2. Выражения, стоящие в левой и правой части тождества с помощью тождественных преобразований приводят к одному и тому же виду.

3. Доказывают, что разность между левой и правой частью тождества равны нулю.

При доказательстве тригонометрических тождеств используют:

1. основные соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента,

2. формулы приведения, формулы сложения,

3. формулы для двойного и половинного аргумента,

4. формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение,

5. числовые значения тригонометрических функций для некоторых углов.

Примеры выполнения заданий.

Пример 1.	Доказать тождество:
Решение:
- правая часть
Ответ:	тождество верно
Пример 2.	Доказать тождество:
Решение:
Ответ:	тождество верно

Формулы приведения.

Формулы сложения.

Формулы удвоения

Формулы половинного угла.

Тема 2.3. Преобразования простейших тригонометрических выражений.

Формула суммы тригонометрических функций. Т ангенс половинного аргумента.

Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение

 

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму

Примеры выполнения заданий.

Пример 1. Преобразовать в произведение: .

Решение:

В необходимую формулу подставим данные значения:

Ответ:

Пример 2. Преобразовать в сумму:

Решение:

В необходимую формулу подставим данные значения:

Ответ:

Пример 3. Доказать тождество:

Решение:

Разложим произведение на сумму по формуле, получим:

Подставим полученное выражение, получим

- преобразуем по формуле , получим

Так как , то

Ответ: что и требовалось доказать.