Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Все методы решения систем линейных алгебраических уравнений можно разделить на две группы:

· точные методы;

· методы последовательных приближений.

С помощью точных методов, проделав конечное число операций, можно получить точные значения неизвестных. При этом предполагается, что коэффициенты и правые части системы известны точно, а все вычисления проводятся без округлений. К точным методам решения систем линейных алгебраических уравнений относятся такие методы как метод обратной матрицы, метод Крамера (определителей), метод Гаусса и др.

Точные методы решения систем линейных алгебраических уравнений применяют для решения систем относительно небольшой размерности (до ). Привлекательными в методах последовательных приближений является их самоисправляемость и простота реализации на ПК. Для начала вычислений требуется задание начальных приближений для искомых неизвестных. К числу методов последовательных приближений относятся: метод простой итерации, метод Зейделя, метод релаксации и др.

Система линейных алгебраических уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Решить систему линейных алгебраических уравнений - значит определить, является ли она совместной или нет. В случае если система совместна, нужно найти ее решение.

Для определения совместности системы можно использовать теорему Кронекера - Капелли, смысл которой состоит в следующем: для того, чтобы система линейных алгебраических уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы коэффициентов системы был равен рангу ее расширенной матрицы коэффициентов.

Решение систем линейных алгебраических уравнений

Методом Гаусса

В электроэнергетических задачах наибольшее распространение получил метод последовательных исключений Гаусса. Он относится к классу точных методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов: прямой ход метода и обратный ход. На первом этапе (прямой ход) система приводится к треугольному виду, на втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из этой треугольной системы.

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений - го порядка.

(2)

Будем считать, что коэффициент , который называют ведущим элементом первого шага, отличен от нуля (в случае, если , нужно поменять местами первое уравнение с - тым уравнением, в котором ). Разделим теперь почленно первое уравнение системы на коэффициент . Введем множители

.

Прибавим теперь к каждому - тому уравнению системы первое уравнение, умноженное на . Проделав эту операцию, мы исключим неизвестное из всех уравнений, начиная со второго.

Преобразованная система примет вид:

(3)

Здесь индекс означает новые значения коэффициентов и правых частей, которые получаются после выполнения первого шага прямого хода метода Гаусса.

Переходя, к выполнению второго шага прямого хода метода Гаусса предположим, что элемент , который называют ведущим элементом второго шага, не равен нулю. Разделим второе уравнение на коэффициент . Введем множители

Прибавим к -тому уравнению системы (3), второе уравнение, умноженное на , в результате исключим неизвестное из всех уравнений, кроме первых двух.

Проведя далее аналогичные преобразования, после - го шага придем к треугольной системе вида:

(4)

Второй этап – обратный ход метода Гаусса реализуется следующим образом. Из последнего уравнения системы (4) определяем . По найденному значению из - го уравнения определяем неизвестное . Затем по значениям и из - го уравнения находим и т.д. Последовательное вычисление неизвестных продолжается до тех пор, пока из первого уравнения системы (4) не определим . На этом процесс решения заканчивается.

Отметим некоторые специфические особенности изложенного метода Гаусса, характерные для ЭЭС. Основная из них заключается в погрешностях вычислений в результате округления чисел по причине конечной длины разрядной сетки ПК. Погрешности зависят в основном от величины ведущего элемента. На шаге исключения, прямого хода метода Гаусса погрешности возрастают, если ведущий элемент мал по сравнению с другими коэффициентами соответствующего столбца матрицы коэффициентов . Поэтому с целью снижения погрешностей вычислений производят специальный выбор ведущего элемента – перестановкой уравнений добиваются того, чтобы на данном шаге исключения в качестве ведущего элемента оказался наибольший коэффициент уравнения.

Пример: для заданной системы линейных алгебраических уравнений найти решение методом Гаусса.

В начале исследуем заданную систему на совместность. Для этого вычислим ранг матрицы коэффициентов и ранг расширенной матрицы коэффициентов. Для этого воспользуемся системой MATLAB.

>> A=[2, -1, 1, -1;2, -1, 0,-3;3 -1, 1, 1;1, 2, -4, 5]; rank(A)

ans =

4

>> A1=[2, -1, 1, -1, 1; 2,- 1, 0,- 3,5;3,-1, 1, 1, -3;1, 2, -4, 5, -6]; rank(A1)

ans =

4

Получили, что ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы коэффициентов, отсюда следует, что система совместна и имеет единственное решение (ранги матриц равны порядку системы).

Проведем преобразования по прямому ходу метода Гаусса

 

 

 

На главной диагонали, преобразованной матрицы коэффициентов, стоят 1. Теперь проведем преобразования в соответствии с обратным ходом метода Гаусса.

Из последнего уравнения системы определяем . Из предпоследнего уравнения находим . Проведя аналогичные вычисления, получаем

В результате получаем вектор-столбец искомых неизвестных