Решение системы линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера

Правило Крамера заключается в следующем. Если определитель =det A матрицы системы из n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными A*x=B отличен от нуля, то система имеет единственное решение x_1, x₂, …, x_n, определяемое по формулам Крамера x_i= _i/ , где _I - определитель матрицы, полученный из матрицы системы A заменой i-го столбца столбцом свободных членов.(i=1,2…n).

Для решения поставленной задачи необходимо выполнить следующие действия:

1. Представить систему в матричном виде, то есть сформировать матрицу системы А и вектор правых частей В.

2. Вычислить главный определитель .

3. Сформировать вспомогательные матрицы для вычисления определителя _i. При формировании вспомогательных матриц удобно скопировать матрицу А несколько раз и последовательно заменять в ней столбцы на вектор В.

4. Вычислить определители _i.

5. Найти решение системы по формуле x_i= _i / (i=1,2…n).

6. Выполнить проверку.

 

Пример 2.4 Решить систему линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера:

 

 

 

Результаты решения данной системы приведены на рисунке 2.2.3

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса

При решении системы линейных алгебраических уравнений с n неизвестными А*х = В, методом Гаусса в Mathcad надо выполнить следующую последовательность действий:

1. Присвоить переменной ORIGIN значение, равное единице.

2. Ввести матрицу системы А и матрицу-столбец правых частей В.

3. Сформировать расширенную матрицу системы АВ (функция augment).

4. Привести расширенную матрицу системы к ступенчатому виду (прямой ход метода Гаусса), а затем (обратный ход) преобразовать её так, чтобы в первых n столбцах получилась единичная матрица. Последний, (n+1) столбец матрицы содержит решение системы. В Mathcad прямой и обратный ходы метода Гаусса выполняет функция rref.

5. Сформировать столбец решения системы X.

6. Проверить правильность решения умножением матрицы системы А на вектор-столбец решения Х.

 

 

Рисунок 2.2.3 – Пример решения системы линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера

 

Пример 2.5 Решить заданную систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

 

 

Результаты решения данной системы приведены на рисунке 2.2.4

 

 

Рисунок 2.2.4 - Решение системы линейных алгебраических уравнений

методом Гаусса

Символьное решение системы линейных алгебраических

Уравнений

Рассмотрим пример символьного решения системылинейных алгебраических уравнений.

Пример 2.6 Найти символьное решение системы линейных алгебраических уравнений, приведённой в примере 2.5

Для отыскания решения системы воспользуемся решающим блоком. Этот блок начинается ключевым словом Given, который следует набрать на клавиатуре. Уравнения системы записываются правее и ниже ключевого слова. Знак равенства в уравнениях вводится при помощи клавиш

<Ctrl> + <=> или выбирается на панели инструментов Boolean (Логические операторы). Правее и ниже последнего уравнения системы вводится функция Find (x1, x2, …, xn). В скобках перечисляются имена переменных, значения которых надо найти. После ввода функции с именами искомых переменных необходимо выбрать знак стрелки на панели инструментов Symbolic (Символьные операторы) или нажать комбинацию клавиш

<Ctrl> + <.>.

Вычисленное решение системы будет отображено после щелчка мышью по свободной области документа. Результаты решения показаны на рисунке 2.2.5, они совпали с результатами, показанными на рисунке 2.2.4

 

 

Рисунок 2.2.5 – Пример символьного решениясистемы линейных алгебраических уравнений

Задание на практическую работу

Решите систему линейных алгебраических уравнений заданным преподавателем методом.

1. 2.

 

3. 4.

 

5. 6.