Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции

Функция называется возрастающей (убывающей) на интервале , если она определена на этом интервале () и если для любых двух точек и , принадлежащих этому интервалу, из условия следует неравенство ().

Функция называется неубывающей (невозрастающей) на интервале , если она определена на этом интервале () и если для любых двух точек и , принадлежащих этому интервалу, из условия следует неравенство ().

Функция называется монотонной на интервале , если она является неубывающей на этом интервале или невозрастающей на этом интервале. Если функция возрастающая на или убывающая на , то ее называют строго монотонной на интервале .

Если функция дифференцируема и является возрастающей (убывающей) в некотором промежутке, то () для любого из этого промежутка. При этом точки, в которых не заполняют никакого отрезка (необходимое условие возрастания (убывания) дифференцируемой функции в промежутке).

Если функция дифференцируема и является неубывающей (невозрастающей) в некотором промежутке, то () для любого из этого промежутка – необходимое условие неубывания (невозрастания) дифференцируемой функции в промежутке.

Если в любой точке некоторого промежутка (), то в этом промежутке функция возрастает (убывает) − достаточное условие возрастания (убывания) дифференцируемой функции в промежутке.

Рассмотрим функцию , непрерывную в точке . Точка называется точкой максимума функции , если существует такая окрестность точки , что для все из этой окрестности . Значение функции в точке максимума называется максимумом функции: .

Точка называется точкой минимума функции , если существует такая окрестность точки , что для всех из этой окрестности . Значение функции в точке минимума называется минимумом функции:

Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума функции. Значения функции в точках экстремума называются экстремумами функции.

Если функция имеет в точке экстремум, то или не существует – необходимое условие экстремума. Отсюда следует, что точки экстремума функции следует искать только среди тех точек, в которых производная функции равна нулю или не существует, такие точки называются критическими или стационарными точками функции.

Если функция непрерывна в некоторой окрестности критической точки и дифференцируема в этой окрестности (за исключением может быть, самой точки ) и если при переходе через (слева направо):

1) меняет знак с «+» на «−», то – точка максимума функции,

2) меняет знак с «−» на «+», то – точка минимума функции,

3) не меняет знак, то в точке функция не имеет экстремума.

Если в критической точке функция дважды дифференцируема, то определить характер экстремума (если в точке функции имеет экстремум) можно по знаку второй производной, а именно:

1) если , то − точка максимума функции,

2) если , то − точка минимума функции.

Примеры с решениями

Пример 1. Найти интервалы возрастания и убывания функции .

Решение. Область определения функции . Находим производную . Для нахождения интервалов возрастания функции решаем неравенство , , , получаем , на этих интервалах функция возрастает. Для нахождения интервалов убывания решаем неравенство , , , получаем , на этом интервале функция убывает.

Можно поступить и так: находим точки, в которых , , , . Эти точки отметим на числовой прямой и определим знаки производной на образовавшихся интервалах:

Интервалы, на которых производная функции имеет знак «+», являются интервалами возрастания функции, а те, на которых «−» − интервалами убывания.

Ответ: функция возрастает на интервале и ; функция убывает на интервале

Пример 2. Найти интервалы монотонности функции

Решение. Область определения функции . Находим производную , решаем уравнение ,

.

Изображаем область определения функции и наносим на нее точку , после чего определяем знак производной на каждом из образовавшихся интервалов:

 

Теперь видим, что на интервале функция убывает, а на интервале возрастает.

Ответ: функция возрастает на интервале , убывает на интервале

Пример 3. Найти экстремумы функции

Решение. Область определения функции . Находим производную . Находим критические точки: не существует при , при .

Изображаем область определения функции (это вся числовая прямая) и наносим на нее критические точки, после чего определяем знак производной на каждом из образовавшихся интервалов:

По знаку производной на каждом интервале определяем характер монотонности функции и видим точки экстремума. Остается вычислить сами экстремумы функции: .

Ответ:

Пример 4. Найти экстремумы функции .

Решение.

Критические точки:

Ответ: , .

Примеры для самостоятельного решения

Найти интервалы возрастания и убывания функций:

 

11.1.

11.2.

11.3.

11.4.

11.5.

11.6.

11.7.

11.8

11.9.

11.10

11.11.

11.12.

11.13.

11.14.

Найти экстремумы функций:

11.15.

11.16.

11.17.

11.18.

11.19.

11.20.

11.21.

 

Ответы

11.1. убывает при возрастает при ;

11.2. возрастает при и убывает при ;

11.3. убывает при ;

11.4. возрастает при и , убывает при и ;

11.5. возрастает при ;

11.6. убывает при , возрастает при ;

11.7. убывает при возрастает при ;

11.8. возрастает при и при , убывает при ;

11.9. возрастает при , убывает при ;

11.10. убывает при и при , возрастает при ;

11.11. возрастает при и при , убывает при и ;

11.12. убывает при и возрастает при ;

11.13. возрастает при ;

11.14. убывает при и ;

11.15. ;

11.16. ;

11.17. ;

11.18. ;

11.19. ;

11.20. ;

11.21.