Производная функции одной переменной

(определение, геометрический смысл)

Рассмотрим функцию , определенную в точке x и в некоторой окрестности этой точки.

Определение 1. Производной функции в точке x называется предел отношения приращения функции в точке x к приращению аргумента при условии стремления приращения аргумента к нулю, если такой предел существует:

(1)

Для обозначения производной используют символы:

Определение 2. Односторонние пределы называются соответственно левой производной и правой производной функции в точке x (если эти пределы существуют). Их обозначают . Для существования производной функции в точке x необходимо, чтобы ее правая и левая производные в этой точке существовали и были равны:

 

Примеры с решениями

Пример 1. Найти для функции пользуясь определением производной.

Решение. Пусть – приращение аргумента. Найдем соответствующие ему приращение функции в точке x = 2:

Воспользуемся определением производной:

Ответ:

Пример 2. Найти для функции в точке х = 0.

Решение. Пусть – приращение аргумента. Найдем соответствующее ему приращение функции в точке x = 0:

Воспользуемся определением:

Ответ: .

Заметим, что функция не имеет производной в точке x= 0, так как

С геометрической точки зрения значение производной функции в точке x ₀ представляет собой угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке M ₀ (x ₀; f (x ₀)), т.е. , где – угол наклона касательной к оси Оx.

Уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой x ₀, имеет вид:

. (2)

Уравнение нормали к графику той же функции в точке с абсциссой x ₀:

(3)

если .

Если в точке x ₀ функция имеет бесконечную производную, т.е. или или , то касательная к графику этой функции в точке с абсциссой x ₀ перпендикулярна оси

 

Уравнение касательной в этих случаях имеет вид: x = x ₀, а уравнение нормали – . Если же , то уравнение нормали: x = x ₀.

Углом между кривыми и называется угол между касательными, проведёнными к этим кривым в точке их пересечения

(4)

если .

Если же , то касательные перпендикулярны и .

Пример 3. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссой x ₀ = 2.

Решение. Воспользуемся уравнениями касательной (2) и нормали (3).

В эти уравнения надо поставить x ₀ = 2; и найденное в примере 1 значение . Получим уравнение касательной: и уравнение нормали:

Ответ: – уравнение касательной;

– уравнение нормали.

Пример 4. Пользуясь определением, найти значение производной функции в точках

Решение. Выведем формулу производной функции в любой точке , пользуясь определением. Зададим аргументу приращение и найдем соответствующее ему приращение функции:

Итак, . Вычислим значения производной в указанных точках:

Ответ:

Если при прямолинейном движении точки задан закон движения то скорость движения v в момент времени t ₀ есть производная по времени: , а ускорение а в момент времени t ₀ определяется производной скорости движения по времени:

 

Примеры для самостоятельного решения

3.1. Вычислить приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента .

3.2. Вычислить приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента

3.3. Найти приращение функции в точке для любого приращения аргумента

3.4. Найти приращение функции в точке x = 2 для любого приращения аргумента

3.5. Пользуясь определением производной, вычислить для функции .

3.6. Пользуясь определением производной, вычислить для функции .

3.7. Пользуясь определением производной, вывести формулу производной функции в любой точке, и найти значения этой производной в точках:

3.8. Пользуясь определением производной, вывести формулу производной функции в любой точке, и найти значения этой

производной в точках:

 

3.9. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке M (2;2), составить уравнения касательной и нормали к этой кривой в точке M, сделать чертеж.

3.10. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссой x ₀ = 2. Сделать чертеж.

3.11. На графике функции найти точку, касательная к которой параллельна биссектрисе первого координатного угла. Составить уравнение этой касательной. Сделать чертеж.

3.12. На графике функции найти точку, касательная к которой перпендикулярна прямой . Составить уравнение этой касательной. Сделать чертеж.

3.13. Составить уравнения касательных к графику функции , приходящих через точку A (2;2). Сделать чертеж.

3.14. Закон движения точки: где S – расстояние в метрах, t – время в секундах. Найти скорость этой точки в момент времени t = 4.

Ответы

3.1. ; 3.2. ; 3.3. ; 3.4. ;

3.5. – 4; 3.6. – 4; 3.7.

3.8.

3.9. – уравнение касательной; – уравнение нормали; 3.10. – уравнение касательной; – уравнение нормали; 3.11. – точка касания; – уравнение касательной; 3.12. – точка касания; – уравнение касательной; 3.13. ; 3.14. .