Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба

График функции y = f (x)называется выпуклым вверх (выпуклым) на интервале (a; b) если в пределах этого интервала график функции y = f (x) лежит ниже любой своей касательной.

График функции y = f (x) называется выпуклым вниз (вогнутым) на интервале (a; b) если в пределах этого интервала график функции y = f (x) лежит выше любой своей касательной.

Точка графика функции y = f (x) M₀ (x₀; f (x₀))называется точкой перегиба графика, если при переходе x через x ₀график меняет направление выпуклости.

Пусть функция y = f (x) дважды дифференцируема на интервале (a;b), тогда если в каждой точке этого интервала , то график функции на (a; b) выпуклый вверх (выпуклый), а если , то график функции на (a; b) выпуклый вниз (вогнутый). Это достаточные условия выпуклости (вогнутости) графика.

Если точка M₀ (x₀; f (x₀))является точкой перегиба графика функции y=f (x), то или не существует – необходимое условие точки перегиба.

Точка x₀ области определения функции, в которой вторая производная функции обращается в ноль или не существует, называется критической точкой II рода.

Для того чтобы точка M₀ (x₀; f (x₀))графика функции y=f (x) была точкой перегиба, достаточно, чтобы существовала конечная в некоторой окрестности точки x₀ (за исключением, может быть, самой точки x₀) и чтобы меняла знак при переходе x через x₀.

Пример 1. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции .

Решение.

Находим критические точки II рода:

а) не существует: ,

б) при

 

Вычислим

Получим и − точки перегиба.

Ответ: – интервалы вогнутости, − интервал выпуклости, и − точки перегиба.

Пример 2. Найти интервал выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции

Решение.

Находим критические точки II рода:

а) не существует при ,

б) :

 

 

Вычислим

Получим − точка перегиба.

Ответ: − интервалы выпуклости, − интервал вогнутости, − точка перегиба.

 

Примеры для самостоятельного решения

Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегибы следующих функций:

13.1. ;

13.2. ;

13.3. ;

13.4. ;

13.5. ;

13.6. ;

13.7. ;

13.8. ;

13.9. ;

13.10

 

Ответы

13.1. − интервал выпуклости, − интервал вогнутости, − точка перегиба;

13.2. − интервал выпуклости, − интервал вогнутости, − точка перегиба.

13.3. − интервалы выпуклости, − интервалы вогнутости, − точки перегиба.

13.4. − интервал выпуклости, − интервал вогнутости, точек перегиба нет.

13.5. − интервалы вогнутости, − интервал выпуклости, − точки перегиба.

13.6. − интервалы выпуклости, − интервалы вогнутости, − точки перегиба.

13.7. − интервал выпуклости, − интервал вогнутости, − точка перегиба.

13.8. − интервал вогнутости, − интервал выпуклости, − точка перегиба.

13.9. − интервалы вогнутости, − интервал выпуклости, − точка перегиба.

13.10. − интервалы вогнутости, − интервалы выпуклости, − точки перегиба.

Асимптоты графика функции

Прямая l называется асимптотой кривой y = f (x), если расстояние от точки M (x; y) кривой до прямой l стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат (т.е. при стремлении хотя бы одной из координат точки к бесконечности).

Прямая x = a является вертикальной асимптотой кривой y = f(x), если выполняется хотя бы одно из условий:

(1)

Прямая y = k x + b наклонная асимптота кривой y=f (x) при (при ), если выполнены условия:

(2)

Частный случай наклонной асимптоты при – горизонтальная асимптота y = b.

Примеры с решениями

Пример 1. Найти асимптоты графика функции

Решение. Область определения

− точка разрыва графика функции, через нее может проходить вертикальная асимптота.

Рассмотрим , следовательно, и выполнено одно из условий (1) и прямая является вертикальной асимптотой.

Наклонная асимптота: y = k x + b, где k и b находим по формулам (2)

.

Получили k = 3 и b = 5, следовательно, наклонная асимптота имеет уравнение y = 3 x + 5.

Ответ: x = 2; y = 3 x + 5.

Пример 2. Найти асимптоты графика функции

Решение. Область определения функции не имеет точек разрыва, следовательно, вертикальных асимптот нет.

Наклонная асимптота: y = k x + b, где k и b находим по формулам (2).

Получили k = 0 и b = 3, следовательно, прямая y = 3 является горизонтальной асимптотой графика рассматриваемой функции.

Ответ: y = 3.

 

Пример 3. Найти асимптоты графика функции

Решение. вертикальных асимптот нет.

Наклонная асимптота: y = k x + b, где k и b находим по формулам (2).

, следовательно, при наклонной асимптоты нет.

Получили k = 0 и b = 0 при , это значит, что прямая y = 0 является горизонтальной асимптотой при .

Ответ: y = 0 (при ).

 

Примеры для самостоятельного решения

Найти асимптоты графиков следующих функций:

14.1. ;

14.2. ;

14.3. ;

14.4. ;

14.5. ;

14.6. ;

14.7. ;

 

14.8. ;

 

14.9. ;

14.10. ;

 

 

14.11. ;

 

14.12. .

 

Ответы

14.1. ;

14.2. ;

14.3. ;

14.4. ;

14.5. ;

14.6. ;

14.7. ;

14.8. ;

14.9. ;

14.10. ;

14.11. ;

14.12. .