Некоторые методы вычисления пределов

1. Случай отсутствия неопределённости

Если при подстановке предельного значения аргумента в функцию получается определённое число, то оно и является значением предела.

Пример 2. Вычислить предел:

Решение.

Ответ: 6.

Пример 3. Вычислить предел:

Решение.

Ответ: 1.

Пример 4. Вычислить предел:

Решение.

Ответ: .

Если в результате формальной подстановки в функцию предельного значения аргумента предел переходит в выражение типа:

то говорят, что под знаком предела неопределённость.

В этом случае нужно раскрыть неопределённость: тождественными преобразованиями «убирают» неопределённость, если это возможно, и вычисляют предел.

2. Случай неопределённости вида

Если в пределе приходим к неопределённости вида , то

необходимо в числителе и знаменателе дроби выделить сомножитель сократить на него и вычислить предел.

 

Пример 5. Вычислить предел:

Решение. Имеем неопределённость вида . Для её раскрытия разложим числитель и знаменатель дроби на множители и сократим на общий множитель (вспомним, что , где – корни уравнения ).

Ответ: 0,7.

Раскрытие неопределённости вида с иррациональностями

Рассмотрим на примере.

Пример 6. Вычислить предел:

Решение. Имеем неопределённость вида . Домножим числитель и знаменатель дроби, предел которой мы ищем, на выражение , сопряжённое числителю.

Ответ: .

Для пределов подобного вида способ домножения на сопряжённое выражение является типичным.

3. Случай неопределённости вида

Для раскрытия исходной неопределённости нужно разделить числитель и знаменатель дроби на переменную x в наибольшей степени, которая входит в данную дробь, учитывая, что величина обратная бесконечно большой есть бесконечно малая величина.

Пример 7. Вычислить предел:

Решение. Имеем неопределённость вида . Разделим числитель и знаменатель дроби на .

Ответ: .

В общем случае можно использовать правило:

4. Случай неопределённостей вида:

Эти неопределённости сводятся к неопределённостям вида одним из следующих способов:

а) приведение дробей к общему знаменателю,

б) преобразование функции к виду дроби,

в) избавление от иррациональности (домножение на сопряжённое выражение числителя и знаменателя дроби).

Пример 8. Вычислить предел:

Решение.

Ответ: 2.

Примеры для самостоятельного решения

Вычислить пределы:

Ответы

1.1. . 1.2. – 2. 1.3. 14. 1.4. 1. 1.5. . 1.6. –9. 1.7. 3. 1.8. . 1.9. . 1.10. 6.

1.11. . 1.12. 1.13. 1.14. . 1.15. . 1.16. . 1.17. . 1.18. . 1.19. ∞. 1.20. 0. 1.21. 1. 1.22. . 1.23. . 1.24. ∞. 1.25. . 1.26. 2. 1.27. . 1.28. 0. 1.29. 0. 1.30. 2. 1.31. 0. 1.32. 1,5. 1.33. –∞. 1.34. +∞. 1.35. +∞. 1.36. +∞. 1.37. –∞. 1.38. –∞.

 

Вычисление предела функции с использованием замечательных пределов

Первым замечательным пределом называется предел вида:

.

Примеры с решениями

Пример 1. Вычислить предел:

Решение.

Ответ: a.

Пример 2. Вычислить предел:

Решение. Используем тригонометрические формулы:

Ответ: 4.

 

Вторым замечательным пределом называется предел вида:

Пример 3. Вычислить предел:

Ответ: .

Пример 4. Вычислить предел:

Решение.

Ответ: .

Примеры для самостоятельного решения

Вычислить пределы:

Ответы

2.1. 5. 2.2. 3. 2.3. . 2.4. 2.5. – 4,5. 2.6. – . 2.7. 0,5. 2.8. 2. 2.9. – . 2.10. 5. 2.11. 3. 2.12. 0. 2.13. cos 3. 2.14. 1. 2.15. 1,75. 2.16. . 2.17. – . 2.18. 14.

2.19. – 1. 2.20. – 0,5. 2.21. . 2.22. – . 2.23. . 2.24. . 2.25. . 2.26. . 2.27. . 2.28. . 2.29. . 2.30. . 2.31. 0. 2.32. . 2.33. 1. 2.34. –7.