Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

(ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ)

 

 

Утверждено Редакционным советом

университета в качестве учебного пособия

 

 

Москва

УДК 517 (075)

ББК 22.161.1

Д50

 

Авторы: Е. Г. Рудаковская, О. В. Аверина, C. М. Воронов, Т. Н. Старшова, Т. В. Хлынова, Т. В. Ригер

 

Рецензенты:

Доктор физико-математических наук, профессор Российского химико-технологического университета имени Д. И. Менделеева

В. М. Аристов

Доктор технических наук, профессор Российского химико-технологического университета имени Д. И. Менделеева

Л. С. Гордеев

 

Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной пере-

Д50 менной (примеры и задачи): учеб. пособие / Е. Г. Рудаковская, О. В.

Аверина, С. М. Воронов, Т. Н. Старшова, Т. В. Хлынова, Т. В. Ригер; под

ред. Е. Г. Рудаковской. – М.: РХТУ им. Д. И. Менделеева, 2013. – 132 с.

ISBN 978-5-7237-1114-3

 

Пособие представляет курс практических занятий по математическому анализу, проводимых кафедрой высшей математики РХТУ им. Д. И. Менделеева.

Охватывает следующие разделы курса математического анализа: теория пределов, дифференциальное исчисление функций одной переменной, интегральное исчисление функций одной переменной. В каждом параграфе изложены теоретические основы, необходимые для решения практических задач, примеры с подобранным решением, задачи для самостоятельного решения с ответами. Большое внимание уделено разбору примеров по изучаемым темам, имеющим прикладное значение для других дисциплин.

Предназначено для студентов I курса всех факультетов и колледжей РХТУ им. Д. И. Менделеева.

 

УДК 517 (075)

ББК 22.161.1

 

 

ISBN 978-5-7237-1114-3 © Российский химико-технологический

университет им. Д. И. Менделеева, 2013

Оглавление

Глава 1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной….………4

§1. Предел функции. Вычисление предела функции с помощью алгебраических преобразований…………………………………………………………..……….4

§2. Вычисление предела функции с использованием замечательных пределов………………………………………………………………………....10

§3. Производная функции одной переменной (определение, геометрический смысл)…………………………………………………..………………………..13

§4. Дифференцирование по формулам, правила дифференцирования ……………………………………………………………..………………..……19

§5. Производная сложной функции………………………………………..….23

§6. Дифференцирование функций, заданных неявно…………………..…….27

§7. Дифференцирование функций, заданных параметрически………….…..33

§8. Дифференциал функции……………………………………………..…….37

§9. Производные и дифференциалы высших порядков…………………..….42

§10. Раскрытие неопределённостей. Правило Лопиталя……………..………49

§11. Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции…………..…56

§12. Наименьшее и наибольшее значение функции, непрерывной

на отрезке……………………………………………………………………......61

§13. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба………...65

§14. Асимптоты графика функции………………………………………….…68

§15. Исследование функции и построение её графика…………………..…...71

Глава 2. Интегральное исчисление функции одной переменной.................…..79

§1. Первообразная функция и неопределенный интеграл......................…….79

§2. Интегрирование посредством разложения подынтегральной функции на слагаемые…………………………………………………………….………85

§3. Интегрирование подстановкой …………………………………….……...87

§4. Интегрирование по частям……………………………………..…………..90

§5. Интегрирование рациональных дробей………………………………..….96

§6. Интегрирование тригонометрических выражений…………………..….102

§7. Интегрирование некоторых видов иррациональных выражений….…...107

§8. Определённый интеграл……………………..…………………………....112

§9. Приложения определенного интеграла……………………..……….......118

§10. Несобственные интегралы…………………………..……………….......126

Примеры с решениями

Пример 1. Используя определения, доказать, что функция в точке имеет предел, равный 5, т.е. .

Решение. Возьмём любое >0. Задача состоит в том, чтобы для этого найти такое d > 0, при котором из неравенства следовало бы неравенство . Преобразуя последнее неравенство, получаем , или . Отсюда видно, если взять , то для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется требуемое неравенство . Это и означает, что .

Односторонние пределы

Бывают случаи, когда способ приближения аргумента к x ₀

существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятие

односторонних пределов.

Определение 3. Число A называется правым (левым) пределом функции в точке , если для любого положительного числа ε существует отвечающее ему положительное число δ такое, что при , выполняется неравенство: .

При этом записывают:

, для левого предела.

Свойства конечных пределов

Пусть существуют конечные пределы тогда справедливы следующие равенства:

При вычислении пределов функций можно использовать понятие эквивалентности.

Определение 4. Если в некоторой окрестности точки определены функции

, , такие, что, , ,то функции и называются эквивалентами при .

При этом записывают: ~ .

Примеры эквивалентных функций при :

tg x~x arctg x~x

Ответы

1.1. . 1.2. – 2. 1.3. 14. 1.4. 1. 1.5. . 1.6. –9. 1.7. 3. 1.8. . 1.9. . 1.10. 6.

1.11. . 1.12. 1.13. 1.14. . 1.15. . 1.16. . 1.17. . 1.18. . 1.19. ∞. 1.20. 0. 1.21. 1. 1.22. . 1.23. . 1.24. ∞. 1.25. . 1.26. 2. 1.27. . 1.28. 0. 1.29. 0. 1.30. 2. 1.31. 0. 1.32. 1,5. 1.33. –∞. 1.34. +∞. 1.35. +∞. 1.36. +∞. 1.37. –∞. 1.38. –∞.

 

Примеры с решениями

Пример 1. Вычислить предел:

Решение.

Ответ: a.

Пример 2. Вычислить предел:

Решение. Используем тригонометрические формулы:

Ответ: 4.

 

Вторым замечательным пределом называется предел вида:

Пример 3. Вычислить предел:

Ответ: .

Пример 4. Вычислить предел:

Решение.

Ответ: .

Примеры для самостоятельного решения

Вычислить пределы:

Ответы

2.1. 5. 2.2. 3. 2.3. . 2.4. 2.5. – 4,5. 2.6. – . 2.7. 0,5. 2.8. 2. 2.9. – . 2.10. 5. 2.11. 3. 2.12. 0. 2.13. cos 3. 2.14. 1. 2.15. 1,75. 2.16. . 2.17. – . 2.18. 14.

2.19. – 1. 2.20. – 0,5. 2.21. . 2.22. – . 2.23. . 2.24. . 2.25. . 2.26. . 2.27. . 2.28. . 2.29. . 2.30. . 2.31. 0. 2.32. . 2.33. 1. 2.34. –7.

 

Примеры с решениями

Пример 1. Найти для функции пользуясь определением производной.

Решение. Пусть – приращение аргумента. Найдем соответствующие ему приращение функции в точке x = 2:

Воспользуемся определением производной:

Ответ:

Пример 2. Найти для функции в точке х = 0.

Решение. Пусть – приращение аргумента. Найдем соответствующее ему приращение функции в точке x = 0:

Воспользуемся определением:

Ответ: .

Заметим, что функция не имеет производной в точке x= 0, так как

С геометрической точки зрения значение производной функции в точке x ₀ представляет собой угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке M ₀ (x ₀; f (x ₀)), т.е. , где – угол наклона касательной к оси Оx.

Уравнение касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой x ₀, имеет вид:

. (2)

Уравнение нормали к графику той же функции в точке с абсциссой x ₀:

(3)

если .

Если в точке x ₀ функция имеет бесконечную производную, т.е. или или , то касательная к графику этой функции в точке с абсциссой x ₀ перпендикулярна оси

 

Уравнение касательной в этих случаях имеет вид: x = x ₀, а уравнение нормали – . Если же , то уравнение нормали: x = x ₀.

Углом между кривыми и называется угол между касательными, проведёнными к этим кривым в точке их пересечения

(4)

если .

Если же , то касательные перпендикулярны и .

Пример 3. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссой x ₀ = 2.

Решение. Воспользуемся уравнениями касательной (2) и нормали (3).

В эти уравнения надо поставить x ₀ = 2; и найденное в примере 1 значение . Получим уравнение касательной: и уравнение нормали:

Ответ: – уравнение касательной;

– уравнение нормали.

Пример 4. Пользуясь определением, найти значение производной функции в точках

Решение. Выведем формулу производной функции в любой точке , пользуясь определением. Зададим аргументу приращение и найдем соответствующее ему приращение функции:

Итак, . Вычислим значения производной в указанных точках:

Ответ:

Если при прямолинейном движении точки задан закон движения то скорость движения v в момент времени t ₀ есть производная по времени: , а ускорение а в момент времени t ₀ определяется производной скорости движения по времени:

 

Примеры для самостоятельного решения

3.1. Вычислить приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента .

3.2. Вычислить приращение функции в точке , соответствующее приращению аргумента

3.3. Найти приращение функции в точке для любого приращения аргумента

3.4. Найти приращение функции в точке x = 2 для любого приращения аргумента

3.5. Пользуясь определением производной, вычислить для функции .

3.6. Пользуясь определением производной, вычислить для функции .

3.7. Пользуясь определением производной, вывести формулу производной функции в любой точке, и найти значения этой производной в точках:

3.8. Пользуясь определением производной, вывести формулу производной функции в любой точке, и найти значения этой

производной в точках:

 

3.9. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции в точке M (2;2), составить уравнения касательной и нормали к этой кривой в точке M, сделать чертеж.

3.10. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке с абсциссой x ₀ = 2. Сделать чертеж.

3.11. На графике функции найти точку, касательная к которой параллельна биссектрисе первого координатного угла. Составить уравнение этой касательной. Сделать чертеж.

3.12. На графике функции найти точку, касательная к которой перпендикулярна прямой . Составить уравнение этой касательной. Сделать чертеж.

3.13. Составить уравнения касательных к графику функции , приходящих через точку A (2;2). Сделать чертеж.

3.14. Закон движения точки: где S – расстояние в метрах, t – время в секундах. Найти скорость этой точки в момент времени t = 4.

Ответы

3.1. ; 3.2. ; 3.3. ; 3.4. ;

3.5. – 4; 3.6. – 4; 3.7.

3.8.

3.9. – уравнение касательной; – уравнение нормали; 3.10. – уравнение касательной; – уравнение нормали; 3.11. – точка касания; – уравнение касательной; 3.12. – точка касания; – уравнение касательной; 3.13. ; 3.14. .

 

Примеры с решениями

Пример 1. Найти производную функции в точке .

Решение. Используя правила дифференцирования (2 и 4) и формулу производной степенной функции (3–5), получим

Ответ: .

Пример 2. Найти производную функции

в точке

Решение. Воспользуемся правилами дифференцирования (2–4), получим:

Ответ:

 

Примеры для самостоятельного решения

4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5. Найти , если

Сделать чертеж.

4.6. Найти , если

Сделать чертеж.

4.7. Найти , если

Сделать чертеж.

4.8.

4.9.

4.10.

4.11.

4.12.

4.13.

4.14.

4.15. Тело массой 5 кг движется по прямой по закону где t – время (с), s – путь (см). Вычислить кинетическую энергию этого тела в конце 3-й секунды.

4.16. Дан закон прямолинейного движения точки: , где t – время в секундах, . Найти скорость в конце 2-й и в конце 5-й секунды.

4.17. Вывести формулу производной произведения трех дифференцируемых функций.

4.18.

4.19. Под каким углом пересекаются кривые и

4.20. Составить уравнение той нормали к кривой , которая перпендикулярна прямой . Сделать чертеж.

Ответы

4.1. ;

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

4.6.

4.7.

4.8.

4.9.

4.10.

4.11.

4.12.

4.13.

4.14.

4.15.

4.16.

4.17.

4.18.

4.19.

4.20.

 

Производная сложной функции

Если функция дифференцируема в точке , а функция дифференцируема в соответствующей точке , то сложная функция дифференцируема в точке и ее производная вычисляется по формуле:

.

Примеры с решениями

Пример 1. Найти производную функции .

Решение. Обозначим , тогда . По правилу дифференцирования сложной функции получаем

Ответ: .

Пример 2. Найти производную функции .

Решение. Здесь ,где

Ответ:

Пример 3. Найти производную функции .

Решение. Здесь , где

Ответ

Пример 4. Найти производную функции где

Решение. Перед нами показательно-степенная функция, т.е. функция вида .

Для ее дифференцирования можно воспользоваться несколькими способами. Один из них мы рассмотрим сейчас, другой будет разобран в параграфе о дифференцировании функций, заданных неявно. Итак, преобразуя заданную показательно-степенную функцию с помощью основного логарифмического тождества, приведем ее к виду показательной функции:

Получили сложную функцию , где

Ответ:

Примеры для самостоятельного решения

5.1.

5.2.

5.3.

5.4.

5.5.

5.6.

5.7.

5.8.

5.9.

5.10.

5.11.

5.12.

5.13.

5.14.

5.15.

5.16.

5.17.

5.18.

5.19.

5.20.

5.21.

5.22.

5.23.

5.24.

5.25.

5.26.

5.27. Составить уравнение той касательной к кривой , которая перпендикулярна прямой . Сделать чертеж.

5.28. Зависимость между количеством вещества, получаемого в некоторой химической реакции, временем t выражается уравнением: . Определить скорость реакции.

5.29.

 

Ответы

5.1. ; 5.2. ;

5.3. ;

5.4. ;

5.5. ;

5.6. ; 5.7. ;

5.8. ; 5.9. ;

5.10. ;

5.11. ;

5.12. ;

 

5.13. ;

5.14. ;

5.15. ; 5.16. ; 5.17. ;

5.18. ; 5.19. ; 5.20. ;

5.21. ; 5.22. ;

5.23. ; 5.24. ; 5.25. ;

5.26. ; 5.27. ; 5.28.

5.29.

.

Примеры с решениями

Пример 1. Функция задана неявно уравнением

Найти .

Решение. Поскольку у является функцией от х, будем рассматривать y ³ как сложную функцию от х, следовательно, . Продифференцировав по х обе части заданного уравнения, получим:

 

Ответ: .