Раскрытие неопределённостей. Правило Лопиталя

При решении задач, связанных с вычислением пределов функций, часто непосредственная подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределённым выражениям вида: Нахождение предела в таких случаях называют раскрытием соответствующей неопределенности. Довольно часто справиться с этой проблемой помогает так называемое правило Лопиталя, которое можно сформулировать в виде теоремы.

Теорема. Если функции и удовлетворяют следующим условиям:

1) или ;

2) и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , и для любого их этой окрестности (за исключением, может быть, самой точки );

3) существует (конечный или бесконечный) , то тогда

.

Замечание 1. Если не существует, то нельзя ничего сказать об исходном пределе, т.е. может существовать, а может и не существовать. В такой ситуации решать задачу вычисления предела надо без использования правила Лопиталя.

Замечание 2. Правилом Лопиталя можно пользоваться (в случае выполнения условий теоремы) при раскрытии неопределенностей вида или не только при , но и при .

Замечание 3. Правило Лопиталя в некоторых задачах можно применять повторно.

Если необходимо раскрыть неопределенности иного вида, нежели и , то следует преобразовывать функцию, стоящую под знаком предела, приведя её к виду, позволяющему применить правило Лопиталя.

Если при , а , то вычисление предела (неопределенность вида ) может быть сведено к одному из случаев или при помощи тождественных преобразований произведения в частное:

или

Если при , а , то вычисление предела (неопределенность вида ) может быть сведено к раскрытию неопределенности путем тождественного преобразования разности в произведение:

.

Иногда удобно пользоваться и другими преобразованиями:

или

При вычислении пределов вида можно столкнуться с неопределенностью или , или . Раскрытие этих неопределенностей производят с помощью следующего преобразования:

Тогда (в силу непрерывности показательной функции) получают: , что сводит задачу к неопределенности или .

Примеры с решениями

Пример 1. Вычислить

Решение. Подстановка предельного значения аргумента приводит к неопределенности , т.е. выполняется первое условие теоремы: и . Второе условие теоремы тоже выполняется, поскольку функции и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , причем для любого из этой окрестности (в качестве окрестности можно рассмотреть, например, интервал ). Выполняется и третье условие: существует предел отношения производных этих функций . Итак, решение этой задачи можно коротко записать следующим образом:

Ответ:

Пример 2. Вычислить

Решение.

Ответ:

Пример 3. Вычислить

Решение.

Ответ: 0

Пример 4. Вычислить

Решение.

Ответ:

Пример 5. Вычислить

Решение.

Ответ:

Пример 6. Вычислить

Решение.

Рассмотрим

Ответ: .

Пример 7. Вычислить

Решение. Перед нами неопределенность , в числителе дроби мы видим функции, дифференцируемые на всем множестве действительных чисел, но отношение производных не имеет предела при . Однако, это не значит, что исходный предел не существует, его можно вычислить без использования правила Лопиталя, применяя лишь тождественные преобразования и свойства пределов:

Ответ: 1.

Пример 8. Вычислить

Решение. Правило Лопиталя не применимо, так как при предел отношения производных не существует. Но задача имеет решение:

Ответ:

Пример 9. Вычислить

Решение.

Правило Лопиталя не приводит нас к решению этой задачи, но искомый предел существует и его легко вычислить, разделив числитель и знаменатель дроби на x:

Ответ:

Примеры для самостоятельного решения

Вычислить следующие пределы:

10.1.

10.2.

10.3.

10.4.

10.5. где

10.6.

10.7.

10.8.

10.9.

10.10.

10.11.

10.12.

10.13.

10.14.

10.15.

10.16.

10.17.

10.18.

10.19.

10.20.

10.21.

Ответы

10.1. ; 10.2. ; 10.3. ; 10.4. ; 10.5. ; 10.6. ; 10.7. ; 10.8. ; 10.9. ; 10.10. ; 10.11. ; 10.12. ; 10.13. ; 10.14. ; 10.15. ; 10.16. ; 10.17. ; 10.18. ; 10.19. ; 10.20. ; 10.21. .