Наименьшее и наибольшее значение функции, непрерывной на отрезке

Непрерывная на отрезке функция достигает на этом отрезке своих наибольшего и наименьшего значений (теорема Вейерштрасса). Эти значения функция может принимать либо в точках экстремума, находящихся внутри рассматриваемого отрезка, либо на концах этого отрезка. Поэтому решать задачу на наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке можно, руководствуясь следующим правилом:

1) найти критические точки функции, принадлежащие интервалу ;

2) вычислить значения функции в найденных критических точках и на концах отрезка ;

3) из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Замечание 1. Если функция имеет внутри отрезка лишь одну критическую точку, которая является точкой максимума (минимума), то в этой точке функция принимает наибольшее (наименьшее) значение.

Замечание 2. Если функция внутри отрезка не имеет критических точек, то это означает, что она строго монотонна на всем этом отрезке и своих наибольшего и наименьшего значений достигает в концах отрезка.

Примеры с решениями

Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .

Решение. Находим . Отсюда видим, что критические точки: и . Находим значения функции в этих точках и на концах данного отрезка:

.

Из полученного следует, что − наименьшее, а − наибольшее значение функции на заданном отрезке.

Ответ: наименьшее значение , наибольшее значение .

Пример 2. Имеется смесь, состоящая из двух газов: оксида азота и кислорода. При какой концентрации кислорода содержащийся в смеси оксид азота окисляется с максимальной скоростью?

Решение. При наличии условий критической необратимости можно считать, что скорость реакции выражается формулой , где – концентрация в момент времени ; – концентрация ; – константа скорости, зависящая только от температуры. Выражая концентрации и в объёмных процентах, будем иметь , . Находим первую производную и, приравнивая её к нулю: . Найдём .

Найдем вторую производную: , так как , то заключаем, что при скорость окисление имеет максимум. Далее, так как при , , то заключаем, что скорость окисления азота имеет максимум, если кислорода в газовой смеси содержится 33,3 %.

Ответ: При концентрации кислорода 33,3 %.

Пример 3. Требуется изготовить фильтр путём вырезания из круга радиуса сектора и свёртывания последнего в конус. При каком центральном угле сектора объём фильтра будет наибольшим?

Решение. Обозначим угол сектора через , а радиус окружности основания конуса через . Тогда , откуда . Если высота

фильтра , то объём его ,

где или .

Поэтому .

Итак, − функция от , наибольшее значение которой на отрезке нужно найти. Находим первую производную и приравняем её к нулю:

, если , откуда, рассматривая только то решение, которое имеет смысл, находим .

По смыслу задачи ясно, что при фильтр будет иметь наибольший объём, равный:

Ответ: при фильтр будет иметь наибольший объём.

 

Примеры для самостоятельного решения

Найти наибольшее и наименьшее значения функций на указанных отрезках:

12.1. на отрезке .

12.2. на отрезке .

12.3. на отрезке и на отрезке .

12.4. на отрезке .

12.5. на отрезке .

12.6. на отрезке .

12.7. на отрезке .

12.8. Какова должна быть сторона основания правильной треугольной призмы объёма , чтобы её полная поверхность была наименьшей?

12.9.Каковы должны быть радиус основания и высота прямого кругового цилиндра объёма , чтобы его полная поверхность была наименьшей?

12.10. Из квадратного жестяного листа, сторона которого , желают сделать открытый сверху ящик наибольшего объёма, вырезая равные квадраты по углам, удаляя их и затем загибая. Какова должна быть длина сторон у вырезаемых квадратов?

12.11. Из круга радиуса вырезан сектор с центральным углом . Из этого сектора свёрнута коническая поверхность (прямой круговой конус). При каком объём полученного конуса будет наибольшим?

12.12. Разделить число 10 на такие две части, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

12.13. Найти высоту прямого кругового конуса с наибольшей боковой поверхностью, который можно вписать в данный шар радиуса .

12.14. Найти высоту прямого кругового конуса с наименьшим объёмом описанного около шара радиуса .

12.15. Найти измерения прямоугольника наибольшей площади, вписанного в эллипс .

12.16. Принимая, что прочность бруска с прямоугольным поперечным сечением прямо пропорциональна ширине и кубу высоты, найти ширину бруска наибольшей прочности, который можно вырезать из бревна, диаметр которого равен 16 см.

12.17. Газ, содержащий оксид , смешивается с воздухом. Определить, при каком содержании кислорода (%) в полученной смеси скорость окисления азота максимальна и какой объём добавленного к газу воздуха обеспечивает это количество кислорода в смеси?

12.18. Лампа висит над центром круглого стола радиуса . При какой высоте лампы над столом освещённость предмета, лежащего на краю стола, будет наилучшая? (Освещённость прямо пропорциональна косинусу угла падения лучей света и обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света).

12.19. Из круглого бревна диаметра требуется вырезать балку прямоугольного сечения. Каковы должны быть ширина и высота этого сечения, чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление:

а) на сжатие;

б) на изгиб?

(Сопротивление балки на сжатие пропорционально площади её поперечного сечения, а на изгиб − произведению ширины этого сечения на квадрат его высоты).

12.20. Определить, при каком диаметре круглого отверстия в плотине секундный расход воды будет иметь наибольшее значение, если

,

где постоянная, равная глубине низшей точки отверстия, а эмпирический коэффициент пропорциональности.

Ответы

12.1. при ; при ; 12.2. при ; при ; 12.3. а) при ; при , б) при ; при ; 12.4. при ; при ; 12.5. при ; при ; 12.6. при ; при ; 12.7. при ; ; 12.8. ; 12.9. Высота цилиндра и диаметр основания равны; 12.10. ; 12.11. ; 12.12. 5 и 5; 12.14. ; 12.15. ; 12.16. 8 см; 12.17. 7 %; 12.18. ; 12.19. а) и ;б) и ; 12.20. .