Дифференцирование функций, заданных неявно

Если у есть функция от х и при этом все соответствующие друг другу действительные значения х и у удовлетворяют уравнению , то говорят, что функция y (x) задана уравнением неявно. Для нахождения производной функции y (x), заданной неявно уравнением , достаточно продифференцировать по x обе части этого уравнения, рассматривая у как функцию от x, и из полученного уравнения выразить .

Примеры с решениями

Пример 1. Функция задана неявно уравнением

Найти .

Решение. Поскольку у является функцией от х, будем рассматривать y ³ как сложную функцию от х, следовательно, . Продифференцировав по х обе части заданного уравнения, получим:

 

Ответ: .

Пример 2. Найти производную функции .

Решение. В данном примере при нахождении производной удобно от явного задания функции перейти к неявному. Прологарифмируем обе части равенства, задающего функцию (при этом обычно используют натуральный логарифм):

Используя свойства логарифмов, позволяющее показатель степени вынести множителем за знак логарифма, получим неявно заданную функцию у в форме,

удобной для дифференцирования:

Продифференцируем по х обе части полученного уравнения.

Выразим y ′, домножив обе части этого уравнения на

 

Ответ:

Производную от логарифма функции называют логарифмической производной.

Пример 3. Найти производную функции

.

Решение. Отметим, что данная функция на своей области определения принимает положительные значения. Воспользуемся логарифмической производной и свойствами логарифмов:

из этого равенства найдём ,умножив обе его части на

.

Ответ: .

Пусть у есть функция от аргумента x:

(1)

Задавая значения , по формуле (1)будем получать соответствующие значения . Можно, однако, считать у независимой переменной, а x – зависимой, задавать значения у и вычислять соответствующие им значения x. И если каждому значению у будет соответствовать единственное значение x, то равенство (1)можно рассматривать как неявное задание функции х от аргумента у. Такая функция называется обратной по отношению к данной функции у. Если уравнение (1)разрешить относительно х, получим явное выражение обратной функции, её обозначают

И для всех допустимых значений у будет выполняться равенство

(2)

которое можно рассматривать как уравнение, задающее функцию неявно.

Для вычисления производной функции продифференцируем уравнение (2) по у:

Откуда или , если

Таким образом, для дифференцируемой функции с производной, отличной от нуля, производная обратной функции равна обратной величине производной

данной функции.

Пример 4. Вывести формулу производной функции

Решение. Рассмотрим функцию ,где , .

Обратная к ней функция имеет вид , причём при . Воспользовавшись правилом дифференцирования обратной функции, получим

Поскольку cos y > 0 для всех , то, учитывая, что , получаем , при . Следовательно:

т.е. , где

Ответ: , где .

Пример 5. Вывести формулу производной функции, обратной к функции .

Решение. Дана функция , её производная , для всех ,следовательно, функция на всей действительной оси монотонно возрастает и имеет обратную функцию, обозначаемую .

Уравнение задаёт эту обратную функцию неявным образом. Продифференцируем обе части по х: , откуда .

Из соотношения выразим , а поскольку для всех , тополучим , где .

Таким образом, .

Итак, формула производной функции, обратной к гиперболическому синусу, имеет вид:

Ответ: .

 

Примеры для самостоятельного решения

Найти производную от функции y = y (x), заданной неявно уравнением:

6.1.

6.2.

6.3.

6.4.

6.5.

6.6.

6.7.

6.8. Доказать, что функция y (x), заданная неявно уравнением , удовлетворяет также уравнению .

Продифференцировать функции, используя логарифмическую производную:

6.9.

6.10.

6.11.

6.12.

6.13.

6.14.

6.15. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции y = y (x) в точке M₀ (1;1), если функция задана уравнением

6.16. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции y=y (x) в точке M₀=(–2; 1), если функция задана уравнением

Найти производные функций, обратных к заданным:

6.17.

6.18.

6.19.

6.20.

6.21.

6.22. Составить уравнения касательных к графику функции и к графику обратной к ней функции, проходящих через точку M_o(1; 1). Сделать чертёж.

6.23. Составить уравнения касательных к графику функции и к графику обратной к ней функции, проходящих через точку M₀(2; 2).Сделать чертёж.

Ответы

6.1. ; 6.2. ; 6.3. ; 6.4. ; 6.5. ; 6.6. ; 6.7. ;

6.9.

6.10.

6.11.

6.12.

6.13.

6.14.

6.15. ; 6.16. ;

6.17. ; 6.18. ;

6.19. ; 6.20. ; 6.21.

6.22. ; 6.23. .