Дивергенция эквивалентных описаний

Не все эквивалентные описания различаются лишь степенью ясности и полноты выражения физического смысла. Среди них существуют и такие, которые одинаково хорошо выражают физический смысл, но различаются тем, что отражают разные стороны объектов, проявляющиеся в различных объективных условиях. Такого рода описания имеют тенденцию к разделению, обусловленному тем, что разные объективные условия могут потребовать интенсионально различных, но экстенсионально тождественных описаний. Разделение эквивалентных описаний, в результате которого каждое из них получает свою сферу применимости, мы назовем их дивергенцией.

Существуют два основных вида дивергенции эквивалентных описаний. Один из них характеризует разделение описаний, происходящее в рамках данной теории, другой — при переходе от данной теории к более общей и фундаментальной теории. Для рассмотрения дивергенции первого вида мы воспользуемся примером из теории

колебаний. Известно, что модулированное по амплитуде колебание может быть представлено двумя математическими эквивалентными выражениями:

 

Оба выражения экстенсионально тождественны. Отношение между ними аналогично отношению равенства 10=5+3+2. Однако они неравноценны интенсионально, а следовательно, и в онтологическом плане. Это проявляется в том, что первое выражение вводит представление об одном синусоидальном модулированном колебании, а второе — о сумме трех синусоидальных колебаний.

Какова природа этого различия? Может быть, оно аналогично различию между двумя представлениями Ef и одно из этих выражений является «хорошим», а другое — «плохим»? Именно такой точки зрения на различие между приведенными математическими описаниями модулированного колебания придерживался известный английский ученый А. Флеминг. По его мнению, реальный смысл имеет только первое выражение, вводящее понятие «несущей» частоты со, в то время как второе выражение, в котором фигурируют боковые частоты w—O и w+O, является математической фикцией.

Точка зрения А. Флеминга была подвергнута критике в работах советских ученых, специалистов в области теории колебаний — Л. И. Мандельштама, Г. С. Горелика, С. М. Рытова 1. Они подчеркнули, что реальный смысл имеют оба математических представления модулированного колебания. Однако каждое из них описывает разные аспекты колебания, выявленные в разных экспериментальных условиях.

В теории мы описываем не колебательный процесс сам по себе безотносительно к экспериментальным средствам его исследования, а те его свойства, которые выявляются посредством физических приборов (пример заданности явлений природы через практику!). Причем в зависимости от характера применяемых приборов у колебательного

' Л. И. Мандельштам. Лекции по теории колебаний. М., 1972;

Г. С. Горелик. Колебания и волны. М., 1959; С. М. Рытое. О некоторых «парадоксах», связанных со спектральными разложениями. — «Успехи физических наук», 1949, т. 29, вып. 1, 2.

процесса могут выявляться свойства, для адекватного описания которых требуются различные математические средства. Если в качестве прибора выбирается набор остронастроенных резонаторов, то он выделит у колебательного процесса несколько синусоид, в результате чего наилучшим способом описания этого процесса будет математическое представление его в виде суммы гармонических колебаний. В иных случаях модулированное колебание ведет себя с физической точки зрения как одна синусоида, которую описывает первое выражение.

Роль прибора в выявлении свойств колебательного процесса можно проиллюстрировать на примере человеческого уха, если последнее рассмотреть как физический прибор. Допустим, что мы слышим одну ноту переменной громкости. Это не что иное, как синусоидальное колебание амплитуды. Оно может рассматриваться как единый процесс, если разница частот 2 Ω мала. Если эта разница частот возрастает, то звуки уже не образуют единой мелодии. Ухо будет слышать диссонанс — набор разных нот. Известно, что ухо начинает слышать диссонанс при разнице частотою герц. Следовательно, при Ω <5 герц звук будет восприниматься как единое модулированное колебание, а при Ω >5 герц — как совокупность разных колебаний '.

Все это, конечно, не означает, что свойства колебаний лишены объективного характера и обусловлены исключительно приборами. Они объективны, но не абсолютны. Вообще не имеет смысла говорить о свойствах какого-либо объекта самого по себе, безотносительно к другим объектам. Свойства имеют реляционную природу. Они всегда есть свойства «чего-то» по отношению к «чему-то». Причем сущность одного и того же объекта в разных отношениях проявляется в разных свойствах. Именно это и наблюдается у колебательных процессов, происходящих в природе.

Эквивалентные описания, подвергающиеся дивергенции первого рода, имеют своей объективной основой определенный аспект качественного многообразия материального мира. Он характеризуется тем, что природа физических объектов многообразна в своих проявлениях. Причем это многообразие укладывается в рамки одного и того же количественного отношения. Именно последнее

' См. Г. С. Горелик. Колебания и волны, стр. 541.

260

является предпосылкой рассмотренного типа эквивалентных описаний.

Эквивалентные описания могут подвергаться и более глубокой дивергенции. Хотя в пределах одной и той же теории они могут выступать как однопорядковые, при переходе к новой, более фундаментальной теории, одно из этих описаний обнаруживает свою привилегированность. Именно такого рода дивергенцию можно проследить у двух формулировок классического гравитационного закона и у двух представлений квантовой механики — шредингеровского и гейзенберговского.

Рассматривая две формулировки классического гравитационного закона в ретроспективном плане, мы не можем не отметить, что пуассоновская формулировка — более глубокая. Ее преимущество состоит в том, что она вводит в качестве особого элемента реальности поле. Однако, оставаясь на классической точке зрения, мы не сможем выделить это ее преимущество, тем более что она экстенсионально эквивалентна закону обратных квадратов. Для классической теории гравитации поле не имело существенного значения, поскольку данная теория оперировала со слабыми гравитационными полями. Основное внимание здесь обращалось на выявление сил гравитационного взаимодействия между материальными массами. Поэтому в рамках классической теории можно было абстрагироваться от поля как вида реальности, оперировать понятием дальнодействия и пользоваться законом обратных квадратов.

Преимущества понятия поля обнаруживаются при переходе в релятивистскую область — к общей теории относительности.

Именно пуассоновская формулировка классического гравитационного закона явилась исходным пунктом обобщения, которое привело к уравнениям общей теории относительности. Эйнштейн описывает это так: «В теории Ньютона можно написать в качестве закона для поля тяготения уравнение

∆φ = 0

(где ф — потенциал тяготения), которое должно выполняться в таких местах, где плотность р материи равна нулю. В общем случае следовало бы положить ∆φ = 4πkp (p — плотность массы) (уравнение Пуассона). В релятивистской теории поля

тяготения на место ∆φ становится Rir. В правую часть мы должны тогда поставить вместо р тоже тензор. Так как мы из частной теории относительности знаем, что (инертная) масса равна энергии, то в правую часть надлежит поставить тензор плотности энергии, точнее, полной плотности энергии, поскольку она не принадлежит чистому полю тяготения. Мы приходим, таким образом, к уравнению поля

 

Ньютоновская формулировка классического гравитационного закона, естественно, не могла послужить отправным пунктом для перехода к общей теории относительности. В ней не было того, что имелось в пуассоновской формулировке,— понятия поля, идеи связи физических характеристик поля с материальными массами. Сам факт создания общей теории относительности выглядит, скорее, как отказ от постулатов, лежащих в основе ньютоновской теории, нежели как их углубление и дальнейшее развитие.

Связь пуассоновской формулировки классического гравитационного закона с общей теорией относительности заключается и в том, что именно она является классическим предельным случаем общей теории относительности. Уравнения общей теории относительности переходят непосредственно не в ньютоновский гравитационный закон, а в уравнение Пуассона.

Аналогичную дивергенцию можно наблюдать и у двух эквивалентных формулировок квантовой механики. Любопытно, что Дирак, провозглашая полную эквивалентность ньютоновской и пуассоновской форм классического гравитационного закона, в то же время подчеркивает различие шредингеровского и гейзенберговского представлений квантовой механики. В действительности между этими двумя парами описаний существует глубокая аналогия.

Как уже говорилось, с формально-математической точки зрения шредингеровское и гейзенберговское представления эквивалентны. Их эквивалентность обеспечивается наличием унитарного оператора, который перево-

1 А. Эйнштейн. Собрание научных трудов в четырех томах, т. IV, стр. 285-286.

дит уравнение Шредингера в уравнение Гейзенберга и обратно. Однако этот перевод возможен лишь в нерелятивистской области. В квантовой теории поля он невозможен. Здесь нельзя дать шредингеровское представление эволюции системы. С математической точки зрения это обусловливается следующим обстоятельством. Шредингеровская волновая функция — это вектор гильбертова пространства, имеющего бесконечное, но счетное число измерений. Такое пространство в физике называется сепарабельным. Вектор же состояния систем, рассматриваемых квантовой теорией поля, принадлежит не-сепарабельному пространству, т. е. пространству несчетного числа измерений. Попытка дать описание такого рода квантовой системы на языке шредингеровской волновой функции приводит к результату, который Дирак формулирует следующим образом: «Мы можем начать с определенного вектора состояния в гильбертовом пространстве в какой-то определенный момент времени. Предположим, что мы заставим вектор изменяться во времени в соответствии с уравнением Шредингера; что с этим вектором тогда произойдет? Грубо говоря, он будет выбит из гильбертова пространства за наименьший возможный интервал времени» 1.

Физическая подоплека этого явления состоит в следующем. Шредингеровское представление эволюции квантовой системы адекватно в нерелятивистской квантовой механике, которая имеет дело с физическими взаимодействиями, осуществляющимися с переносом малых энергий и импульсов. Она не учитывает сильных взаимодействий, которые существенны для квантовой теории поля. Эти взаимодействия, как отмечает Дирак, столь сильны, что векторы состояния не укладываются в рамки сепарабельного гильбертова пространства.

Дивергенция второго типа раскрывает весьма любопытный аспект эквивалентных описаний. Если два экстенсионально эквивалентных описания рассматривать статически, то трудно решить, какое из них более фундаментально. Они могут выглядеть как совершенно равноценные в информативном плане и различаться только степенью практического удобства и простоты. Однако если мы будем рассматривать их в развитии, то сразу обнаружим дивергенцию описаний, причем эта дивергенция

' П. Дирак. Лекции по квантовой теории поля. М., 1971, стр. 15.

сразу укажет, какое из упомянутых описаний более фундаментально. Таким образом, различия между эквивалентными описаниями могут быть в полной мере выявлены лишь в развивающемся знании.