Что такое эквивалентные описания?

Хотя ученый стремится к тому, чтобы создаваемые им теории соответствовали объективному миру, они непосредственно относятся не к нему самому, а к его идеальной репрезентации. Ввиду этого понятие объективной истины оказывается весьма непростым. Ситуация осложняется в особенности в тех случаях, когда обнаруживается принципиальная возможность различных и даже диаметрально противоположных систем теоретических репрезентаций объективного мира, которые, несмотря на это, оказываются эмпирически эквивалентными. Именно такая ситуация возникает в связи с так называемыми эквивалентными описаниями в физике. Здесь понятие объективной истины подвергается серьезному испытанию. Истина — это соответствие знаний действительности. Но поскольку сущность мира может быть по-разному представлена в онтологиях эквивалентных описаний, возникает непростой вопрос о том, чему же, собственно говоря, должны соответствовать знания, претендующие на статус истины.

Некоторые неопозитивисты, например Рейхенбах, считали эквивалентные описания одним из самых сильных аргументов, выдвинутых наукой против концепции исти-

' В. И. Ленин. Полн. собр. соч., т. 29, стр. 152.

ны как соответствия знаний действительности. По их мнению, эта концепция не соответствует науке, должна быть пересмотрена и заменена другой концепцией, утверждающей, что научная истина представляет собой не более чем эмпирическую подтверждаемость. Чтобы показать несостоятельность этой точки зрения, необходим детальный анализ проблемы эквивалентных описаний.

Прежде всего уточним само понятие «эквивалентные описания». Этим термином в физике обычно называют теории или их фрагменты, описывающие одну и ту же предметную область и приводящие к одинаковым эмпирическим следствиям. Но такая характеристика эквивалентных описаний недостаточна. Под одинаковыми эмпирическими следствиями подразумеваются обычно те следствия, которые известны на сегодняшний день. Однако теории имеют потенциально бесконечное множество эмпирических следствий. В принципе не исключена возможность, что при развертывании теорий, расширении их эмпирических приложений найдутся такие факты, которые подтвердят одно из описаний и опровергнут другие.

Возьмем, к примеру, корпускулярную и волновую теории света. В течение длительного времени они считались эквивалентными, ибо приводили к одинаковым эмпирическим следствиям относительно явлений отражения и преломления света. В дальнейшем, однако, выяснилось, что указанные теории совпадают лишь частично. Корпускулярная теория не смогла объяснить явления дифракции и интерференции света, которые объяснялись в рамках волновой теории. В свою очередь, волновая теория обнаружила свою неспособность объяснить дискретный характер процесса излучения и поглощения света, согласующийся с корпускулярной точкой зрения.

Приведенный нами пример иллюстрирует, строго говоря, не эквивалентные, а локально эквивалентные, или пересекающиеся, описания. Эти описания имеют некоторое общее множество эмпирических следствий. Но в то же время каждое из них характеризуется специфическими следствиями. Отношения между такого рода описаниями — T1 и Т2 — можно было бы представить частично пересекающимися кругами (см. рис. 3 на стр. 236).

Два описания, которые согласованы лишь общим множеством наличных фактов, по-видимому, еще нельзя считать эквивалентными. Для их эквивалентности необходимо, чтобы формальный аппарат одного описания путем тождественных преобразований трансформировался в аппарат другого описания. Это условие является существенным. Если аппарат теории T1 может быть преобразован в аппарат теории T2, и наоборот, то тогда указанные теории могут считаться эквивалентными и в эмпирическом плане. В последнем случае бессмысленно

 

искать в рамках применимости обеих теорий решающие эксперименты и контрольные факты, выявляющие преимущества одной из них. Достаточно чисто формальным путем перевести T1 в Т2, чтобы показать, что факты, подтверждающие Т2, являются одновременно фактами, подтверждающими T1. Осуществляя обратную процедуру, т. е. переходя от Т2 к T1, мы находим, что факты, подтверждающие T1, подтверждают и Т2. Важно отметить, что все сказанное относится не только к наличным, известным фактам, но и к любым фактам, которые когда-либо могут быть установлены на основе этих теорий. Отношение между такого рода теориями можно представить в виде совпадающих кругов (см. рис. 4 на стр. 237).

Мы обсудим несколько эквивалентных описаний, которые формулируются в фундаментальных физических теориях — квантовой механике, специальной теории от-

носительности, теории тяготения и квантовой теории поля.

В качестве первого примера рассмотрим две формулировки квантовой механики — матричную, принадлежащую Гейзенбергу, Борну и Иордану, и волновую, создателем которой является Шредингер. Исходным пунктом обеих формулировок была боровская теория атома. Обе они были направлены на преодоление тех трудностей, с которыми эта теория столкнулась. Однако методы их построения, формальные аппараты были существенно различными.

 

В основе первой формулировки лежал гейзенберговский принцип наблюдаемости, требующий, чтобы теория атома строилась только на основе наблюдаемых величин. По мнению Гейзенберга, из теории Бора должны были быть исключены орбиты электронов, которые представляли собой ненаблюдаемые конструкции. Основой теории атома могли служить, по его мнению, лишь наблюдаемые частоты и интенсивности излучения. Гейзенберг обратил внимание на то, что частоты и интенсивности могут рассматриваться как элементы бесконечных двухмерных матриц, оперирование которыми осуществляется в соответствии с известными в алгебре правилами. Он обобщил эту идею и применил ее не только к частотам и ин-тенсивностям, но и к другим физическим величинам, в частности к координате и импульсу. В отличие от классической физики, квантовая теория оперирует не

понятиями координаты и импульса, а понятиями матриц координаты и импульса. Причем между квантовыми и классическими представлениями координаты и импульса имеется следующее существенное различие: в классической механике они коммутативны, в квантовой механике — нет.

В отличие от Гейзенберга, Шредингер не ограничивал себя жестким требованием наблюдаемости. Он ориентировался на описание не только наблюдаемых частот и интенсивностей, но и их источника — движения электронов в атоме, которое он рассматривал как волновой процесс. Волновой процесс непрерывен, и для его описания применим аппарат дифференциальных уравнений. Математическим описанием движения электрона явилось волновое уравнение Шредингера.

Матричная и волновая механики одинаково объяснили целый ряд эмпирических фактов. Однако различие их формальных аппаратов в сочетании с отсутствием процедур перехода от одного аппарата к другому не давало возможности считать их эквивалентными. Ведь могло оказаться, что общность эмпирического базиса этих теорий носит ограниченный характер, а поэтому они принадлежат к типу локально эквивалентных, т. е. пересекающихся, описаний. Лишь открытие процедур формального перехода, позволяющих трансформировать элементы аппарата одного описания в элементы аппарата другого описания, могло бы гарантировать то, что все эмпирические факты, объяснимые в рамках одной механики, объяснимы и в рамках другой. Такое открытие было сделано. Объединение матричной и волновой механик, выявление общности между ними было достигнуто в ходе развития квантовой механики на основе теории операторов. Было установлено, что матричная и волновая механики могут рассматриваться как два различных представления единой операторной формулировки квантовой механики.

Описание эволюции состояния квантовой системы в операторной квантовой механике может быть осуществлено различными способами, которые называются представлениями. Представление Шредингера характеризуется тем, что здесь применяются операторы, математическая форма которых не зависит от времени. Изменение состояния системы с течением времени идентифицируется с изменением волновой функции. Это изменение подчиняется уравнению Шредингера.

Отличительной чертой представления Гейзенберга является такое описание изменения системы, при котором векторы состояния, т. е. волновые функции, считаются не зависящими от времени. Для описания изменения квантовой системы здесь используются операторы, зависящие от времени. Изменение оператора Р в представлении Гейзенберга подчиняется уравнению

 

Квантовая теория утверждает, что между представлениями Шредингера и Гейзенберга существует связь, состоящая в том, что путем чисто формальных преобразований можно от одного из них перейти к другому. Это преобразование осуществляется при помощи оператора

 

Действуя этим оператором на волновую функцию в гейзенберговском представлении, мы получаем шрединге-ровскую волновую функцию, а следовательно, и возможность перейти к уравнению Шредингера. С другой стороны, действие обратного оператора S1 на шредингеровскую волновую функцию приводит к волновой функции в представлении Гейзенберга, что в конечном счете дает возможность получить уравнение Гейзенберга.

Другим примером эквивалентных описаний могут служить две формулировки специальной теории относительности — в лоренцевых и галилеевых координатах. Гали-леевыми называются координаты, которые подчиняются преобразованиям:

x=x1+vt1, y==y1, z=z1, t=t1,

а лоренцевыми — координаты, подчиняющиеся преобразованиям:

 

где хуz — «неподвижная» система координат, a x1y1z1 — система координат, движущаяся относительно «неподвижной» вдоль оси х со скоростью v; с — скорость света в вакууме.

Следует сразу оговориться, что лоренцевы и галилеевы координаты выполняют в физике различные функции. Преобразования Лоренца играют фундаментальную роль

в специальной теории относительности. При их помощи формулируется эйнштейновское обобщение принципа относительности, утверждающее инвариантность законов физики по отношению к преобразованиям Лоренца. В свою очередь, преобразования Галилея естественным образом связаны с классической физикой. Они обеспечивают математическую формулировку классического принципа относительности, утверждающего инвариантность законов механики относительно преобразований Галилея.

Но все же, несмотря на глубокие различия, существующие между функциями лоренцевых и галилеевых координат, последние могут быть также применены для формулировки специальной теории относительности. Такая возможность обеспечивается соотношениями, связывающими лоренцевы и галилеевы координаты. Для этого мы переобозначим галилеевы координаты движущейся системы, представив их в следующем виде:

 

Тогда необходимые связи будут иметь следующий вид:

 

Следует заметить, что галилеева формулировка сама по себе не возвращает нас к классической механике. В ее рамках дается изложение фактов специальной теории относительности, т. е. она позволяет описать такие факты, которые не укладываются в рамки классической механики и в то же время согласуются со специальной теорией относительности.

Из эквивалентных описаний, с которыми сталкивается теория гравитации, можно выделить две формулировки классического гравитационного закона. Одна из них — это ньютоновский закон всемирного тяготения:

 

другая — формулировка гравитационного закона в виде уравнения Пуассона: ∆φ = 4πkр,

где ∆ — оператор Лапласа, φ — потенциал гравитационного поля, р — плотность массы.

Эти формулировки гравитационного закона отличаются друг от друга в следующем отношении: пуассоновская формулировка предполагает полевую концепцию гравитации, ньютоновская — нет. Но все же, отмечает Дирак ', обе они эквивалентны, так как приводят к одним и тем же результатам. Существует математическая процедура, позволяющая перевести одну формулировку в другую, что и доказывает их эквивалентность2.

 

В приведенных нами примерах фигурировали формулировки теорий в целом. Но эквивалентными могут быть и различные представления отдельных фрагментов теорий. В качестве иллюстраций рассмотрим так называемые диаграммы Фейнмана, используемые в квантовой теории поля.

Согласно квантовой теории поля, фотон достаточно большой энергии может породить пару частиц «электрон + позитрон». Этот процесс фиксируется экспериментально в камере Вильсона. Схематически он может быть представлен в виде диаграммы (рис. 5).

Диаграмма расшифровывается следующим образом. Фотон в точке А рождает электронно-позитронную пару '. Электрон и позитрон разлетаются в противоположные стороны. Через некоторое время позитрон сталкивается с другим электроном в точке С, вследствие чего обе частицы аннигилируют, превращаясь в фотоны.

Как показал Р. Фейнман, те же самые эмпирические данные можно истолковать посредством другой диаграммы (рис. 6.).

Здесь уже нет никакого позитрона. Вместо него вводится другой объект — электрон, движущийся в обратном направлении времени. Новая диаграмма расшифровывается так. Вылетая из точки D, электрон достигает точки С и меняет направление времени, излучая при этом фотоны. Затем он движется в обратном направлении време

 

ни, от С к А, и здесь вновь меняет направление времени, излучая фотоны. Затем он движется от А к В и т. д.

Несмотря на различие концептуальных интерпретаций, обе диаграммы эмпирически эквивалентны. Они соответствуют одним и тем же данным опыта — трекам частиц, зафиксированных камерой Вильсона. Переход от одного описания к другому может рассматриваться как процедура реинтерпретации эмпирических данных.

Изложенные нами примеры иллюстрируют не локальные, а «глобальные» эквивалентные описания. Эквива-

' Более точно: гамма-фотон выбивает из вакуума электрон, оставляя в нем «дырку», которая является античастицей электрона — позитроном,

лентность каждой пары описаний обусловлена наличием чисто формального перехода от одного описания к другому на основе математически тождественных преобразований. В силу этого каждая пара описаний обладает одним и тем же эмпирическим базисом.