Расчет статически неопределимых систем методом сил (продолжение)

Проверка правильности коэффициентов

При вычислении коэффициентов системы канонических уравнений возможны ошибки. Поэтому их надо проверять.

Существует три способа проверки коэффициентов.

1. Построчная проверка проводится для проверки всех коэффициентов одного уравнения.

Если сложить все коэффициенты при неизвестных i -го уравнения, то

= + + … + = + + … + =

= ()= = .

Здесь: = = – суммарная единичная эпюра, – результат «произведения» i -ой единичной эпюры на эту эпюру.

Отсюда следует, что если сумма всех коэффициентов i-ой строки системы канонических уравнений равна произведению i-ой единичной эпюры на суммарную единичную эпюру, т.е.

= ,

то коэффициенты этой строки вычислены верно.

2. Универсальная проверка используется для одновременной проверки всех коэффициентов системы канонических уравнений. Приведем (без доказательства) только общее правило этой проверки: если сумма всех коэффициентов системы канонических уравнений равна произведению суммарной единичной эпюры на себя, т.е.

= = ,

то все коэффициенты системы канонических уравнений вычислены верно.

3. Постолбцовая проверка используется для проверки коэффициентов одного столбца системы канонических уравнений. Приведем правило проверки столбца из грузовых коэффициентов: если сумма всех грузовых коэффициентов равна произведению суммарной единичной эпюры на грузовую эпюру, т.е.

= ,

то грузовые коэффициенты вычислены верно.

Определение внутренних усилий

После подсчета и проверки коэффициентов системы канонических уравнений все они подставляются в эти уравнения, а потом система уравнений решается относительно неизвестных X₁, X₂, …, X_n. Затем определяются внутренние усилия заданной статически неопределимой системы. Эту задачу можно решить двумя способами:

1) подстановкой найденных величин X₁, X₂, …, X_n в основную систему и определением ее усилий M, Q, N;

2) используя эпюры внутренних усилий в единичных состояниях , , и в грузовом состоянии M_P, Q _P, N_P с учетом закона Гука и принципа суперпозиции; в этом случае внутренние усилия определяются по формулам:

M= X₁+ X₂+ …+ X_n+M_P; Q= X₁+ X₂+ …+ X_n+Q_P ; N= X₁+ X₂+ …+ X_n+N_P .

При расчете рам и балок обычно используется только первая из этих формул, и по ней строится эпюра изгибающих моментов M. Эпюра Q строится по эпюре M с дифференциальной зависимости, а эпюра N строится по эпюре Q способом вырезания узлов.

Алгоритм метода сил

Порядок расчета рамы методом сил состоит из следующих этапов:

1. Определение степени статической неопределимости.

2. Выбор основной системы.

3. Запись канонических уравнений.

4. Рассмотрение единичных и грузового состояний.

5. Построение единичных и грузовой эпюр.

6. Определение коэффициентов канонических уравнений.

7. Решение системы канонических уравнений.

8. Построение эпюр M, Q, N.

9. Проверка правильности расчета. Она состоит их двух частей:

1) статическая проверка состоит в проверке выполнения условий равновесия;

2) кинематическая проверка состоит в проверке всех условий =0 () или общего условия =0.

Действительно,

А это выражение равно нулю, так как является i -ой строкой системы канонических уравнений. Отсюда следует, что , поскольку каждый из его сомножителей равняется нулю.