Объединение конечных элементов

Пусть в расчетной модели сооружения имеется m КЭ и n узлов, а вектора ее перемещений и узловых нагрузок определены так:

,

.

После построения матриц жесткостей всех конечных элементов и определения векторов узловых нагрузок в общей системе координат следует сформировать матрицу жесткости и вектор нагрузки всего сооружения. Это можно проделать так.

Вначале матрицы жесткости всех КЭов собираются в единую диаго-нальную матрицу , а вектора узловых нагрузок − в единый вектор :

, .

Они еще не учитывают связи между соседними конечными элементами в узлах их примыкания.

Для объединения КЭов в единую систему используется энергетический принцип: энергия конечно-элементной модели системы равняется сумме энергий всех ее КЭ. В этом случае матрица жесткости объединенной системы будет определяться по формуле

,

где Г – объединяющая матрица. Элементы этой матрицы состоят только из нулей и единиц, а отдельные ее блоки соответствуют узлам КЭ и строятся по принципу: если КЭ содержит данный узел, то записывается единичная матрица, если нет – нулевая матрица. А соответствующие узловые нагрузки будут объединяться по формуле

.

Однако получение матрицы жесткости K и вектора нагрузки P таким способом требует больших вычислительных затрат. Задача упрощается, если составить так называемую матрицу индексов, определяющую соответствие номеров узловых перемещений КЭов узловым перемещениям всей модели. Тогда матрицу жесткости K можно получать рассылкой в ее блоки отдельных блоков матриц жесткостей КЭов по информации, заключенной в матрице индексов. При этом рассылка идет с суммированием рассылаемого блока матрицы жесткости КЭ с имеющимся блоком в матрице K. Такой метод называется методом сложения жесткостей.

Вектор узловой нагрузки P формируется аналогично.

В результате этих действий формируется разрешающее уравнение МКЭ, по виду совпадающее с уравнением МКЭ для отдельного КЭ:

Ku=P.

Но уже здесь K и P − матрица жесткости и вектор нагрузки всей системы. Матрицу K часто называют глобальной матрицей жесткости.

Учет граничных условий

Разрешающее уравнение МКЭ нельзя сразу решить относительно перемещений u. Причина в том, что при его составлении не учтены граничные условия закрепления сооружения в опорах. Поэтому матрица жесткости K является вырожденной (т.е. ее определитель равняется нулю). Чтобы выйти из положения, вектор перемещений приходится делить на две части – на перемещения по закрепленным (з) и незакрепленным (н) направлениям:

.

Так как опоры сооружения обычно бывают достаточно жесткими, их перемещения можно принять равными нулю (), а нагрузку, приходящуюся на опоры, не учитывать. В таком случае разрешающее уравнение преобразуется в уравнение меньшего размера. Однако такая процедура существенно меняет структуру матрицы жесткости K и усложняет дальнейшее решение.

Поэтому используется другой прием: все элементы строк и столбцов матрицы жесткости, соответствующие закреплениям, приравниваются нулю, и лишь вместо их диагональных элементов ставятся единицы. В таком случае разрешающее уравнение упрощается без нарушения ее структуры и принимает вид:

.

Здесь E − единичная матрица, и − блоки матрицы жесткости и вектора нагрузки, соответствующие незакрепленным направлениям.