ТОП 10:

ВВЕДЕНИЕ В СТРОИТЕЛЬНУЮ МЕХАНИКУ



Р.А. Шакирзянов

КРАТКИЙ

КУРС ЛЕКЦИЙ

ПО СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ

 

 

Учебное пособие

 

Казань

УДК 624.042.8

ББК 38.112

Ш 17

 

Шакирзянов Р.А.

Ш 17 Краткий курс лекций по строительной механике. – Казань: КГАСУ, 2010. – 115 с.

ISBN 978-5-7829-0263-6

 

Печатается по решению Редакционно-издательского совета Казанского государственного архитектурно-строительного университета.

 

Учебное пособие написано в соответствии с Государственными образовательными стандартами и учебными планами по направлениям «Строительство» и «Транспортное строительство» на основе многолетнего опыта, накопленного на кафедре строительной механики КГАСУ. В нем содержится сокращенное изложение лекций, читаемых по курсу “Строительная механика” на строительном и автодорожном факультетах КГАСУ. Рассматриваются классические и современные области строительной механики – расчет статически определимых и статически неопределимых систем, дискретные методы расчета, динамика и устойчивость сооружений.

Пособие предназначено студентам строительных вузов для изучения основ строительной механики, а также аспирантам и преподавателям для подготовки к лекциям и практическим занятиям.

 

Табл. 2; илл. 100; библ. 19

 

Рецензенты:

Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой сопротивления материалов КГАСУ Р.А. Каюмов

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической механики КГУ Ф.Х. Тазюков

 

 

УДК 624.042.8

ББК 38.112

Ó Казанский государственный

архитектурно-строительный

университет, 2010

 

ISBN 978-5-7829-0263-6 Ó Шакирзянов Р.А, 2010

 

 

В В Е Д Е Н И Е

Строительная механика – одна из важнейших областей механики твердого тела. Ее методы широко используются при проектировании, расчете и обследовании сооружений. Поэтому в Государственных образовательных стандартах и программах по подготовке инженерных кадров изучению строительной механики уделяется большое внимание.

С развитием общей науки постоянно развивается и строительная механика, расширяется круг решаемых ею задач, разрабатываются новые методы и алгоритмы расчета сооружений, реализуемые с использованием современных компьютерных технологий.

Вместе с тем в сегодняшних учебных программах постоянно уменьшается число часов, отводимых для изучения строительной механики. В результате этого все больше усложняются задачи ознакомления будущего специалиста с теоретическими основами, методами и алгоритмами строительной механики, приемами расчета сооружений на различные воздействия.

Настоящий краткий курс лекций по строительной механике написан учитывая все эти соображения с целью достаточно полного и последовательного изложения материала. Курс состоит из 18 лекций и включает логически связанные три составные части:

1) расчет статически определимых систем (6 лекций);

2) расчет статически неопределимых систем (9 лекций);

3) динамика и устойчивость сооружений (3 лекции).

В конце каждой лекции даются вопросы для самоконтроля.

Если рассматривать настоящий курс лекций с вершин современной науки, то он содержит две важные составные части. В первой из них (лекции 1-11, 16-18) излагаются классические основы строительной механики, а в лекциях 12-15 изложены современные методы расчета сооружений, предназначенные для реализации в составе современных расчетных комплексов с применением новейших компьютерных технологий.

Л е к ц и я 1

ВВЕДЕНИЕ В СТРОИТЕЛЬНУЮ МЕХАНИКУ

Сооружения и их элементы

Сооружения весьма разнообразны. Поэтому они и классифицируются по-разному. Например, только по назначению сооружения делятся на промышленные, общественные, жилищные, транспортные, гидротехнические, подземные, сельскохозяйственные, военные и др.

В сооружениях используются элементы разных типов:

1) стержни– прямые или криволинейные элементы, поперечные размеры a и b которых намного меньше длины l(рис. 1.2 а, б, в);

2) плиты – элементы, толщина которых t меньше остальных размеров a иb; плиты могут быть прямыми (рис. 1.2 г), и кривыми в одном или двух направлениях (рис. 1.2 д, е);

3) массивные тела — элементы, все три размера которых одного порядка (рис. 1.2 ж).

Рис. 1.2

Простейшие сооружения, состоящие из таких элементов, можно подразделять на следующие типы – стержневые сооружения (рис. 1.3 а, б), складчатые сооружения (рис. 1.3 в), оболочки (рис. 1.3 г) и массивные сооружения − подпорные стенки (рис. 1.3 д) и каменные своды(рис. 1.3 е):

Рис. 1.3

Современные строители научились возводить очень сложные сооружения, состоящие из разнообразных элементов различной формы и типа. Например, достаточно распространенным является сооружение, у которого основание массивное, средняя часть может состоять из колонн стержневого типа и плит, а верхняя часть − из плит или оболочек.

Таблица 1.1. Основные типы опор плоских систем

Рассмотрим некоторые типы простых сооружений.

1. Балка – изгибаемый брус. Она бывает однопролетной или много-пролетной. Типы однопролетных балок: простая балка (рис. 1.5 а), консоль (рис. 1.5 б) и консольная балка (рис. 1.5 в). Многопролетные балки бывают разрезные (рис. 1.5 г), неразрезные (рис. 1.5 д) и составные (рис. 1.5 е):

Рис. 1.5

2. Рама – система прямых (ломаных или кривых) стержней. Ее стержни могут соединяться жестко или через шарнир. Вот некоторые типы рам: простая рама (рис. 1.6 а), составная рама (рис. 1.6 б), многоэтажная рама (рис. 1.6 в).

Рис. 1.6

3. Ферма – система стержней, соединенных шарнирами. Типов ферм много. Например, бывают стропильная ферма (рис. 1.7 а), мостовая ферма (рис. 1.7 б), крановая ферма (рис. 1.7 в), башенная ферма (рис. 1.7 г).

Рис. 1.7

4. Арка – система из кривых стержней. Некоторые типы арок: трехшарнирная (рис. 1.8 а), одношарнирная (рис. 1.8 б), бесшарнирная (рис. 1.7 в) арки.

Рис. 1.8

Существуют более сложные системы как комбинации простых систем. Они называются комбинированными системами. Например: арочная ферма (рис. 1.9 а), ферма с аркой (рис. 1.9 б), висячая система (рис. 1.9 в):

Рис. 1.9

По статическим особенностям различают статически определимые и статически неопределимые системы.

В о п р о с ы

1. Что изучает строительная механика?

2. Какие важные факторы определяют задачу расчета сооружения?

3. Что такое расчетная схема сооружения?

4. Как классифицируются расчетные схемы?

5. Перечислите основные типы стержневых систем.

6. Какие гипотезы принимаются для упрощения расчета сооружений?

Л е к ц и я 2

В о п р о с ы

1. Какие системы называются геометрически неизменяемыми, изменяемыми и мгновенно изменяемыми?

2. Что такое число степеней свободы?

3. Как записывается основная формула кинематического анализа?

4. Как классифицируются системы по степени свободы?

5. В чем заключается необходимое условие геометрической неизменяемости?

6. Как проверяется геометрическая неизменяемость системы?

7. Какие способы образования неизменяемых систем знаете?

8. Каков порядок кинематического анализа?

9. Что такое метод нулевой нагрузки?

Л е к ц и я 3

Определение опорных реакций

Сооружение, воспринимая внешнюю нагрузку, через свои элементы передает ее опорам, вызывая в них опорные реакции.

При определении опорных реакций используется принцип освобождения от связей: всякое тело можно освободить от связей, заменив их реакциями. После этого из уравнений равновесия можно определять величины опорных реакций.

Уравнения равновесия плоской системы записываются в трех формах:

1) SX = 0, SY = 0, SMA = 0

(SX и SY – суммы проекций на взаимно-пересекающиеся оси x и y, SMA – сумма моментов всех сил относительно любой точки A на плоскости);

2) SX = 0, SMA = 0, SMB = 0

(точки A и B не должны лежать на одном перпендикуляре к оси x);

3) SMA = 0, SMB = 0, SMC = 0

(точки А, В, С не должны лежать на одной прямой).

Метод простых сечений

Этот метод позволяет рассматривать внутреннее усилие как внешнюю силу и определять его из уравнений статики (равновесия).

Например, внутренние усилия балки (рис. 3.2 а) в сечении К определяются как на рис. 3.2 б.

Рис. 3.2

Алгоритм метода простых сечений:

1) поделить систему на участки;

2) выбрать участок и провести поперечное сечение;

3) выбрать одну (наиболее простую) из отсеченных частей;

4) составить три уравнения равновесия;

5) из них определить внутренние усилия M, Q, N;

6) для данного участка построить эпюры M, Q, N;

7) повторить пункты 2-6 для остальных участков.

Метод совместных сечений

Этот метод используется при расчете многодисковых систем.

Например, для расчета трехдисковой рамы (рис. 3.3 а) проводятся три совместных сечения I, II, III. В результате выявляются девять неизвестных реакций (рис. 3.3 б): опорные реакции R1, R2, H и междисковые реакции X1, X2, X3, Y1, Y2, Y3. Составив для каждого диска по три уравнения равновесия, т.е. 3´3=9 уравнений, из их решения определяются все 9 реакций.

Рис. 3.3

Алгоритм метода совместных сечений:

1) совместными сечениями разделить систему на части (диски);

2) обозначить опорные и междисковые реакции;

3) для каждого диска записать уравнения равновесия;

4) решить систему полученных уравнений;

5) каждый диск рассчитать отдельно и построить эпюры;

6) объединить все эпюры в общие эпюры M, Q, N.

Метод вырезания узла

Используется для определения усилий простых систем.

Сущность метода: вырезается узел с не более чем двумя неизвестными усилиями; силы, действующие в узле, проецируются на две оси; из этих уравнений определяются искомые усилия.

Например, при расчете балочно-ферменной системы (рис. 3.4 а), после того как определены опорные реакции (рис. 3.4 б), вырезается узел А (рис. 3.4 в) и составляются уравнения равновесия:

SX = N2 cos45– N1 cos45= 0,

SY = N1 sin45+ N2 sin45+ P/2 = 0.

Из них определяются искомые продольные силы: .

Рис. 3.4

Метод замены связей

Используется при расчете сложных статически определимых систем, которые трудно рассчитать другими способами.

Сущность метода: сложная система превращается в более простую путем перестановки связи (или нескольких связей) в другое место; из условия эквивалентности заданной и заменяющей систем определяется усилие в переставленной связи; затем система рассчитывается известными способами.

Например, для расчета рамы (рис. 3.5 а) удалим правый вертикальный стержень заданной системы (ЗС) и введем одну связь в левый шарнир. Тогда шарнир станет припайкой С, а примыкающие к нему стержни будут жестко связаны. Обозначив усилие в удаленной связи через X, получим так называемую основную систему (ОС) для расчета рамы (рис. 3.5 б).

Рис. 3.5

Условием эквивалентности ОС по отношению к ЗС будет условие равенства нулю момента в точке С: MC=0. По принципу суперпозиции этот момент равняется сумме моментов от силы X и внешней нагрузки:

MC=MC,X + MC,P =0.

Теперь рассмотрим два состояния ОС:

1) единичное состояние (ЕС), где прикладываются силы X=1 (рис. 3.5 в);

2) грузовое состояние (ГС), где прикладывается нагрузка (рис. 3.5 г).

Тогда предыдущее уравнение примет вид

X + MC,P =0,

где =1×a=a – момент в точке С в единичном состоянии;

MC,P= – момент в точке С в грузовом состоянии.

Теперь неизвестное усилие легко вычисляется:

.

После этого можно перейти к расчету более простой системы (рис. 3.5 д).

В более сложных случаях переставляются несколько связей и записываются столько же условий эквивалентности:

s11X1+s12X2+¼+ s1nXn+S1P=0,

s21X1+s22X2+¼+ s2nXn+S2P=0, . . . . . . . . . . . . . . . . .

sn1X1+sn2X2+¼+ snnXn+SnP=0.

Здесь 1, 2, ¼, n – заменяемые связи; X1, X2, ¼, Xn – неизвестные внутренние усилия в этих связях; sij – усилие в связи i в j-ом единичном состоянии; SiP – усилие в i-ой связи в грузовом состоянии.

Из этой системы уравнений определяются неизвестные X1, X2, ¼, Xn.

Общий вывод.Расчет любой статически определимой системы приводит к решению системы n линейных уравнений с n неизвестными. Если определитель полученной системы уравнений отличен от нуля (det¹0), внутренние усилия будут конечными величинами. Если же определитель равняется нулю (det=0), то внутренние усилия определить нельзя. В этом случае система является мгновенно изменяемой.

В о п р о с ы

1. Какая система называется статически определимой?

2. Какие особенности имеет статически определимая система?

3. Какие формы уравнений равновесия можно записать для плоской системы?

4. Что такое изгибающий момент, поперечная сила и продольная сила, как определяются их знаки?

5. Какие методы используются при расчете статически определимых систем?

6. В чем сущность метода замены связей?

7. Какой общий вывод можно сделать после анализа методов расчета статически определимых систем?

Л е к ц и я 4

Расчет ферм

Ферма – это геометрически неизменяемая система, состоящая из прямых стержней, соединенных в узлах жестко или шарнирно (рис. 4.1 а). Замена жестких узлов шарнирами превращает их в шарнирную ферму (рис. 4.1 б).

Рис. 4.1

Для статической определимости и геометрической неизменяемости шарнирных ферм должно выполняться условие

.

При действии узловой нагрузки стержни фермы работают в основном на растяжение или сжатие, а моменты и поперечные силы в них отсутствуют. Поэтому в стержнях шарнирной фермы определяются только продольные усилия.

Положительное усилие Nij в стержне фермы между узлами i и j (рис. 4.2 а) следует направить в сторону от шарниров (рис. 4.2 б).

Рис. 4.2

При расчете простых ферм используются методы вырезания узлов, сквозных сечений, совместных сечений, замены стержней и др. Здесь рассмотрим только два метода.

Метод вырезания узлов основан на последовательном вырезании и рассмотрении равновесия узлов фермы.

Сущность метода: вырезается узел, в котором не более двух неизвестных; составляются уравнения равновесия SX=0 и SY=0; из них определяются неизвестные продольные усилия. После этого можно вырезать следующий узел и продолжить расчет.

В методе вырезания узлов необходимо установить порядок вырезания узлов. Например, для расчета фермы (рис. 4.3 а) сначала вырежем узел A (рис. 4.3 б) и запишем уравнения равновесия:

SX = NA-10+NA-1 cosa=0;

SY = NA-1 sina+1,5P=0.

Из них: NA-1= –1,5P/sina; NA-10=1,5P/tga .

Рис. 4.3

Теперь вырежем узел 10 (рис. 4.3 в) и запишем условия равновесия:

SX = N9-10 –NA-10=0;

SY = N1-10=0.

Из них получаем: N9-10 =NA-10=1,5P/tga; N1-10=0.

После этого можно вырезать узлы 1, 9, 2, 3, 8, 4, 7, 6, 5.

У метода вырезания узлов есть недостаток: ошибка (неточность), допущенная при расчете одного узла, влияет на последующие вычисления. Поэтому результаты, полученные этим методом, надо контролировать. Например, результаты расчета фермы могут быть проверены по формуле

,

где – усилия в стержнях, – длины стержней, и – проекции нагрузок (включая и опорные реакции), x и y – координаты нагрузок.

Из метода вырезания узлов вытекают несколько признаков (частных случаев), упрощающих расчет ферм:

1) если в узле сходятся два стержня и внешняя нагрузка не приложена (рис. 4.4 а), то оба усилия равны нулю: N1= N2=0;

2) если в узле сходятся два стержня, а внешняя нагрузка действует в направлении одного стержня (рис. 4.4 б), то N1=P, N2=0;

3) если в трехстержневом узле два стержня лежат на одной прямой, а внешней нагрузки нет (рис. 4.4 в), то усилия в двух стержнях равны: N1= N2, а усилие в боковом стержне равно нулю: N3=0;

4) если в четырехстержневом узле стержни попарно лежат на одной прямой, а внешней нагрузки нет (рис. 4.4 г), то усилия также попарно равны между собой: N1= N2, N3= N4.

Рис. 4.4

Используя эти признаки легко определяются некоторые усилия рассмотренной фермы (рис. 4.3 а):

– по 2-му признаку N1-10=N1-9=N2-9=0; N5-6=N5-7=N4-7=0;

– по 3-му признаку NA-10=N9-10=N8-9; NB-6=N6-7=N7-8; NA-1=N1-2; NB-5= N4-5.

Метод сквозных сечений позволяет определять усилие в стержне фермы только из одного уравнения.

Сущность метода: поперек фермы проводится такое сквозное сечение, чтобы появилось не более трех неизвестных усилий; в точке пересечения направлений двух из них составляется уравнение момента, из которого определяется третье усилие.

Точка, в которой составляется уравнение момента, называется моментной точкой.

В качестве примера рассмотрим ту же ферму, проведя через нее сквозное сечение I–I (рис. 4.3 а). Рассматривая равновесие левой части от сечения (рис. 4.5), составим уравнение момента в точке 1:

SM1 = N9-10× –1,5P×a=0.

Отсюда получаем: N9-10=4,5P . Рис. 4.5

Точка 9 является моментной точкой для N1-2. Поэтому

SM9 = –N1-2 b –1,5P×2a=0.

Так как b=2a×sina, получаем N1-2=–1,5P/ sina .

Для N1-9: SMA = –N1-9×c=0. Отсюда получаем N1-9=0.

Иногда (например, когда два стержня параллельны) моментной точки не существует. В этом случае вместо уравнения момента следует составлять уравнение проекции на ось, перпендикулярную этим параллельным стержням.

У метода сквозных сечений есть один недостаток: в сложных фермах не удается провести такое сквозное сечение, чтобы появились только три неизвестных усилия. В этом случае некоторые неизвестные нужно определять заранее или использовать другие методы (методы совместных сечений или замены связей).

Расчет разрезных балок

В зависимости от расположения опор и шарниров, разрезные балки могут быть разными (рис. 4.6).

Рис. 4.6

Для геометрической неизменяемости и статической определимости разрезных балок должно выполняться условие

.

Взаимодействие частей разрезной балки легче изучать путем составления их этажных схем. Для этого выявляются те части балки, которые могут самостоятельно нести внешнюю нагрузку (назовем их главными балками). Все главные балки изображаются на нижнем этаже. Те части балки, которые примыкают к главным балкам (подвесные балки) и могут нести нагрузку только при опирании на главные балки, изображаются этажом выше и т.д. В результате получается этажная схема балки.

Например, рассмотренные на рис. 4.6 разрезные балки можно представить в виде следующих этажных схем (рис. 4.7).

Рис. 4.7

Расчет разрезных балок начинается с самого верхнего этажа: определяются опорные реакции и внутренние усилия этой части балки от ее нагрузки. После этого переходим к нижележащему этажу. Однако, кроме своей нагрузки, к нему следует приложить и давление от вышележащего этажа (которое равно реакции вышележащего этажа, но направлено в противоположную сторону). Затем определяются его реакции и внутренние усилия. Далее расчет продолжается до самого нижнего этажа.

Рассмотрим пример (рис. 4.8 а). Вначале строим этажную схему (рис. 4.8 б), проводим расчет подвесной балки (рис. 4.8 в), а затем главной балки (рис. 4.8 г). Полученные эпюры для отдельных частей балки объединяем в общие эпюры M и Q (рис. 4.8 д, е).

Рис. 4.8

Расчет трехшарнирных систем

Трехшарнирная система – это система из двух дисков, связанных между собой и основанием тремя шарнирами. Есть трехшарнирные системы двух видов: арочные (рис. 4.9 а) и подвесные системы (рис. 4.9 б).

Рис. 4.9

Их расчет мало отличается друг от друга. Поэтому остановимся на арочных системах, которые бывают трех типов: трехшарнирные рамы (рис. 4.10 а), трехшарнирные арочные фермы (рис. 4.10 б) и трехшарнирные арки (рис. 4.10 в):

Рис. 4.10

Особенность трехшарнирных систем состоит в том, что в них возникает распор (боковое давление) даже от вертикальной нагрузки. Опорные реакции таких систем (рис. 4.11 а) можно определять методом совместных сечений. В результате появляются независимые две части с шестью неизвестными (четыре опорные реакции RA, RB, HA, HB и две междисковые реакции XC, YC (рис. 4.11 б).

Рис. 4.11

Составив для каждого диска по три уравнения равновесия (всего шесть уравнений), можно определить все эти реакции. Далее каждый диск рассчитывается самостоятельно.

В о п р о с ы

1. Какие упрощения принимаются при расчете ферм?

2. Какие методы используются при расчете ферм?

3. Какова сущность метода сквозных сечений?

4. Назовите признаки, упрощающие расчет ферм.

5. Как строится этажная схема?

6. В чем главная особенность трехшарнирных систем?

Л е к ц и я 5

РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ

НА ПОДВИЖНУЮ НАГРУЗКУ

Подвижной нагрузкой называется нагрузка, движущаяся по сооружению с некоторой скоростью. К примеру, такой нагрузкой является транспорт (рис. 5.1 а). Его можно рассматривать как систему взаимо-связанных параллельных сил, движущихся по сооружению (рис. 1.5 б).

Рис. 5.1

Определение усилий по ЛВ

Пусть ЛВ какого-то усилия S определяется уравнением y=f(x). По этому графику можно определять усилие S от произвольной нагрузки.

Действие сосредоточенной силы (рис. 5.5 а). Если система упругая, то внутреннее усилие прямо пропор-ционально нагрузке. Поэтому S=Py. Если же действует несколько сил, то внутреннее усилие определяется по принципу суперпозиции:

S=S Pi yi .

Действие распределенной нагруз-ки (рис. 5.5 б). Если рассматривать элементарную силу q(x)dx как сосредоточенную силу, то

Рис. 5.5 S= .

Когда же распределенная нагрузка постоянна, т.е. q(x)=q=const, то

S=q .

Здесь w – площадь ЛВ в области действия распределенной нагрузки.

Если на сооружение действует несколько сосредоточенных сил и распределенных нагрузок, то по принципу суперпозиции

S=S Pi yi+S qj ωj .

Построение ЛВ усилий фермы

Рассмотрим ферму (рис. 5.6 а). При воздействии только вертикальной нагрузки ее опорные реакции будут такими же как у вспомогательной балки (рис. 5.6 б). Поэтому ЛВ опорных реакций фермы будут аналогичны ЛВ балки (рис. 5.6 в, г).

Для построения ЛВ продольных усилий фермы воспользуемся способами вырезания узлов и сквозных сечений.

а) Использование способа вырезания узлов

Для построения ЛВ N2-6 вначале рассмотрим узел 1. Так как к этому узлу силы не приложены, то по признаку 1 N1-6=0.

После этого вырежем узел 6 фермы. Здесь могут быть два случая:

1) когда единичная сила P=1 находится в этом узле (рис. 5.6 е), то

SY= N2-6 sina+1–1=0. Отсюда N2-6=0.

2) когда единичная сила P=1 находится вне этого узла (рис. 5.6 ж), то

SY=N2-6 sina+RA=0. Отсюда N2-6= – ×RA.

Тогда, используя ЛВ опорной реакции RA, можно построить ЛВ усилия N2-6 (рис. 5.6 д).

 

Рис. 5.6

б) Использование способа сквозных сечений

Поперек фермы проведем сквозное сечение I–I (рис. 5.7 а) и получим независимые левые и правые части. Единичная сила P=1 может находиться в обоих частях фермы.

1)Единичная сила левее сечения(рис. 5.7 б):

SM =N2-3 h+RB 2a=0. Отсюда N2-3= –2 RB ;

SY = –N3-7 sina+RB=0. Отсюда N3-7= RB .

2)Единичная сила правее сечения (рис. 5.7 в):

SM = –N2-3 h – RA a=0. Отсюда N2-3= – RA ;

SY =N3-7 sina+RA=0. Отсюда N3-7= – RA .

В первом случае определяем ординаты ЛВ этих усилий между узлами 6-7, т.е. определяем их левые ветви, а во втором случае определяем ординаты обоих ЛВ между узлами 8-10, т.е. определяем правые ветви ЛВ. Соединив точки между узлами 7-8, получаем переходную прямую и окончательный вид ЛВ (рис. 5.7 г, д ).

Рис. 5.7

Как видно из этих примеров, у ЛВ продольных усилий фермы есть следующее свойства: ветви ЛВ пересекаются под моментной точкой; если же моментной точки нет, ветви ЛВ параллельны.

В о п р о с ы

1. Что такое линия влияния и чем она отличается от эпюры?

2. В чем преимущество метода линий влияния?

3. Чем отличается ЛВ при узловой передаче нагрузки?

4. Как определяется усилие от постоянной нагрузки по ЛВ?

5. Какие способы используются при построении ЛВ усилий фермы?

Л е к ц и я 6

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ

Понятие о перемещениях

При воздействии нагрузки, температуры и других факторов сооружения меняют свою форму, а его точки получают перемещения.

Перемещение – векторная величина. Перемещение любой точки на плоскости можно задать через его модуль и направление. Например, вектор перемещения точки А рамы в точку А¢ (рис. 6.1 а) определяется через его модуль DA и угол (направление) jA (рис. 6.1 б). А эти величины можно определять через горизонтальную и вертикальную составляющие DxA и DyA вектора перемещения :

DA= , jA=arc tg .

Поступательные перемещения DA, DxA, DyA будем называть линейными перемещениями, а jAугловым перемещением.

Рис. 6.1

Методы определения перемещений основаны на определении работ внешних и внутренних сил. В механике рассматриваются два вида таких работ – действительные и возможные работы.

Возможные перемещения.

В о п р о с ы

1. Чем отличаются действительная и возможная работы?

2. Как формулируется теорема Бетти?

3. Какие состояния рассматриваются при определении перемещений?

4. Чем отличаются определение перемещений в рамах и фермах?

Л е к ц и я 7

Выбор основной системы

Расчет статически неопределимой системы начинается с превращения ее в статически определимую. Для этого необходимо исключить лишние связи и заменить их реакции неизвестными силами. Полученная система называется основной системой (ОС).

Например, у балки (рис. 7.2 а), которую далее будем называть заданной системой (ЗС), степень статической неопределимости n=1. Если исключить лишнюю связь (правую опору) и обозначить неизвестную реакцию через X, получим ее ОС (рис. 7.2 б).

Рис. 7.2

Способов исключения лишних связей очень много (теоретически – бесконечное число). Например, лишнюю связь можно исключать как на рис. 7.2 в-е. Однако одна из этих схем (рис. 7.2 е) геометрически изменяема и для дальнейшего расчета непригодна. Все остальные схемы могут быть приняты за основную систему.

Если воспользоваться известным теоретическим положением о том, что в линейно-упругих системах внешняя нагрузка распределяется единственным образом, то результаты расчетов по различным ОС должны быть одинаковыми. Однако объем вычислений в разных ОС может быть разным. Поэтому из многих вариантов ОС нужно выбирать наиболее оптимальную. Например, в нашем примере первый вариант ОС (рис. 7.2 б) предпочтительнее остальных, т.к. в ней эпюры строятся легче.

Итак, основная система должна быть:

1) обязательно геометрически неизменяемой;

2) простой для расчета;

3) учитывать особенности сооружения и действующей нагрузки.

Сущность метода сил

В рассматриваемом методе расчета статически неопределимых систем за основные неизвестные принимаются силы (внутренние усилия). Поэтому он и называется методом сил.

Изучим метод сил на примере предыдущей балки (рис. 7.2 а).

Потребуем, чтобы ее ЗС (рис. 7.2 а) и ОС (рис. 7.2 б) были эквивалентными. Для этого перемещение в направлении исключенной связи должно равняться нулю:

D=0.

По принципу суперпозиции, это перемещение равно сумме перемещения DX (рис. 7.3 а) от неизвестной реакции X и перемещения DP (рис. 7.3 б) от заданной силы P. Поэтому

D=DX+DP=0.

Это уравнение, учитывающее геометрические особенности системы, называется уравнениемсовместности деформаций.

Рис. 7.3

Так как сила X неизвестна, перемещение DX непосредственно определить нельзя. Поэтому рассмотрим единичное состояние (ЕС) основной системы, где действует только единичная сила P=1 (рис. 7.3 в). Перемещение d, возникающее в нем в направлении единичной силы, называется податливостью, и его уже можно определить.

По закону Гука, в линейно-упругой системе DX=d X. Тогда последнее уравнение принимает вид

d X+DP=0.

Его называют каноническим уравнением метода сил. Такое уравнение получается для любой один раз статически неопределимой системы. Если известны d и DP, из него определяется неизвестная сила: X= –DP/d .

Если в системе имеется n лишних связей, то нужно исключить все эти лишние связи и выбрать ОС с n неизвестными X1, X2, ..., Xn. Тогда, из условий эквивалентности ЗС и ее ОС (условий равенства нулю перемещений в направлениях исключенных связей) можно составить n уравнений совместности деформаций:

= + +×××+ +D1P=0,

= + +×××+ +D2P=0,

. . . . . . . . . . . . . .

Dn= + +×××+ +DnP =0.

При рассмотрении n различных единичных состояний системы и определении податливостей по различным направлениям эти уравнения приводятся к системе уравнений:

+ X2+×××+ Xn+D P=0,

+ X2+×××+ Xn+D2P=0,

. . . . . . . . . . . . .

+ X2+×××+ Xn+DnP=0.

Она называется системой канонических уравнений метода сил. Здесь – главные коэффициенты, боковые коэффициенты. Свободные члены DiP называются грузовыми коэффициентами.

Систему с большим количеством уравнений необходимо решать на компьютере. С этой целью введем матричные обозначения:

d= ; X = ;DP







Последнее изменение этой страницы: 2017-01-26; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 34.204.202.44 (0.043 с.)