Понятие о статически неопределимых системах

Статически неопределимой называется система, внутренние усилия которой нельзя определить только из уравнений статики (равновесия). Статически неопределимые системы (СНС) отличаются от статически определимых рядом свойств:

1. Они надежнее, разрушение некоторых элементов не всегда приводит к разрушению всей системы.

2. Они выдерживают бо́льшую нагрузку.

3. У них деформации меньше.

4. Изменение температуры, смещение опор, неточность изготовления элементов вызывают дополнительные усилия.

5. Внутренние усилия зависят от физических и геометрических характеристик элементов.

У статически неопределимых систем есть так называемые «лишние» связи, число которых называется степенью статической неопределимости. Степень статической неопределимости n простой системы определяется из дискового аналога по следующей формуле:

.

Например, степени статической неопределимости балки (рис. 7.1 а) и рамы (рис. 7.1 в) будут:

n=2·0+0+4–3·1=1 и n=2·0+1+4–3·1=2.

Использование этой формулы при расчете сложных рам затруднительно. Поэтому можно применить другой подход, вводя два понятия: 1) замкнутый контур – замкнутая цепь из элементов и связей системы; 2) удалённая связь – связь замкнутого контура, исключенная из жесткого соединения элементов (см. рис. 7.1 б, г, е).

Рис. 7.1

Степень статической неопределимости сплошного замкнутого контура равняется трем. Поэтому степень статической неопределимости системы из n_к замкнутых контуров, из которых удалены n_уд связей, будет

n=3n_к – n_уд.

При использовании этой формулы для балки (рис. 7.1 а) и рам (рис. 7.1 в, д) в этих системах необходимо определить общее число замкнутых контуров n_к и удаленных связей n_уд (рис. 7.4 б, г, е). Тогда

− для балки: n=3×2–5=1;

− для рам: n=3×2–4=2, n=3×2–4=2.

Степень статической неопределимости фермы определяется по формуле

n= n_С+ n –2n_У .

Например, для фермы (рис. 7.1 ж): n=6+3–2×4=1.

Выбор основной системы

Расчет статически неопределимой системы начинается с превращения ее в статически определимую. Для этого необходимо исключить лишние связи и заменить их реакции неизвестными силами. Полученная система называется основной системой (ОС).

Например, у балки (рис. 7.2 а), которую далее будем называть заданной системой (ЗС), степень статической неопределимости n=1. Если исключить лишнюю связь (правую опору) и обозначить неизвестную реакцию через X, получим ее ОС (рис. 7.2 б).

Рис. 7.2

Способов исключения лишних связей очень много (теоретически – бесконечное число). Например, лишнюю связь можно исключать как на рис. 7.2 в-е. Однако одна из этих схем (рис. 7.2 е) геометрически изменяема и для дальнейшего расчета непригодна. Все остальные схемы могут быть приняты за основную систему.

Если воспользоваться известным теоретическим положением о том, что в линейно-упругих системах внешняя нагрузка распределяется единственным образом, то результаты расчетов по различным ОС должны быть одинаковыми. Однако объем вычислений в разных ОС может быть разным. Поэтому из многих вариантов ОС нужно выбирать наиболее оптимальную. Например, в нашем примере первый вариант ОС (рис. 7.2 б) предпочтительнее остальных, т.к. в ней эпюры строятся легче.

Итак, основная система должна быть:

1) обязательно геометрически неизменяемой;

2) простой для расчета;

3) учитывать особенности сооружения и действующей нагрузки.

Сущность метода сил

В рассматриваемом методе расчета статически неопределимых систем за основные неизвестные принимаются силы (внутренние усилия). Поэтому он и называется методом сил.

Изучим метод сил на примере предыдущей балки (рис. 7.2 а).

Потребуем, чтобы ее ЗС (рис. 7.2 а) и ОС (рис. 7.2 б) были эквивалентными. Для этого перемещение в направлении исключенной связи должно равняться нулю:

D=0.

По принципу суперпозиции, это перемещение равно сумме перемещения D_X (рис. 7.3 а) от неизвестной реакции X и перемещения D_P (рис. 7.3 б) от заданной силы P. Поэтому

D=D_X+D_P=0.

Это уравнение, учитывающее геометрические особенности системы, называется уравнениемсовместности деформаций.

Рис. 7.3

Так как сила X неизвестна, перемещение D_X непосредственно определить нельзя. Поэтому рассмотрим единичное состояние (ЕС) основной системы, где действует только единичная сила P=1 (рис. 7.3 в). Перемещение d, возникающее в нем в направлении единичной силы, называется податливостью, и его уже можно определить.

По закону Гука, в линейно-упругой системе D_X=d X. Тогда последнее уравнение принимает вид

d X+D_P=0.

Его называют каноническим уравнением метода сил. Такое уравнение получается для любой один раз статически неопределимой системы. Если известны d и D_P, из него определяется неизвестная сила: X= –D_P/d.

Если в системе имеется n лишних связей, то нужно исключить все эти лишние связи и выбрать ОС с n неизвестными X₁, X₂,..., X_n. Тогда, из условий эквивалентности ЗС и ее ОС (условий равенства нулю перемещений в направлениях исключенных связей) можно составить n уравнений совместности деформаций:

= + +×××+ +D_1P=0,

= + +×××+ +D_2P=0,

..............

D_n= + +×××+ +D_nP =0.

При рассмотрении n различных единичных состояний системы и определении податливостей по различным направлениям эти уравнения приводятся к системе уравнений:

+ X₂+×××+ X_n+D _P=0,

+ X₂+×××+ X_n+D_2P=0,

.............

+ X₂+×××+ X_n+D_nP=0.

Она называется системой канонических уравнений метода сил. Здесь – главные коэффициенты, – боковые коэффициенты. Свободные члены D_iP называются грузовыми коэффициентами.

Систему с большим количеством уравнений необходимо решать на компьютере. С этой целью введем матричные обозначения:

d = ; X = ; D_P = ; 0 = ,

где d – матрица податливости, X – вектор неизвестных, D_P – вектор нагрузки, 0 – нуль-вектор. В результате этого система канонических уравнений принимает вид:

d X + D_P = 0.

Из этого матричного уравнения определяется вектор неизвестных:

X = – d ^–1 D_P.

Здесь d ^–1 – обратная матрица податливости.