Расчет статически неопределимых систем методом перемещений (продолжение)

Элементарные состояния основной системы

Как было установлено в предыдущей лекции, коэффициенты системы канонических уравнений метода перемещений – реакции, определяемые в единичных и грузовом состояниях. Например, – реакция, возникающая в i -ой связи в j -ом единичном состоянии, – реакция, возникающая в i -ой связи в грузовом состоянии.

Все эти реакции равны сумме реакций отдельных стержней, объединяемых в узлах основной системы. Для их определения необходимо рассчитывать статически неопределимые стержни различной длины и жесткости с различными закреплениями по концам, получающие разные перемещения или нагруженные различными силами. С целью упрощения таких расчетов все типовые задачи, встречающиеся при расчете различных основных систем, решаются для общего случая. Их называют элементарными состояниями основной системы, а результаты их расчетов сводятся в таблицу. Эти задачи в большинстве случаев бывают статически неопределимыми и поэтому решаются методом сил.

Рассмотрим решение двух типовых задач.

Стержень с равномерно распределенной нагрузкой q

Степень статической неопределимости этой системы (рис. 11.1 а) n=1. Каноническое уравнение имеет вид . Выбирая основную систему (рис. 11.1 б), в единичном (рис. 11.1 в) и грузовом (рис. 11.1 д) состояниях строим единичную (рис. 11.1 г) и грузовую эпюры (рис. 11.1 е).

Рис. 11.1

Определим коэффициенты канонического уравнения:

, ,

а затем неизвестную реакцию: . После этого из уравнений статики определяем остальные реакции, а по формуле строим эпюру изгибающих моментов (рис. 11.1 ж).

Поворот одного конца стержня с заделанными концами

Пусть один конец стержня с заделанными концами поворачивается на единичный угол (рис. 11.2 а). У этой системы степень статической неопределимости n=3. Однако, если не учитывать продольную деформацию, вместо заданной системы можно рассматривать стержень с правой опорой в виде ползуна (рис. 11.2 б) и принять n=2.

Рис. 11.2

Система канонических уравнений будет: ,

.

Если основную систему выбрать симметричной (рис. 11.2 в), в обоих единичных состояниях (рис. 11.2 г, е) единичные эпюры , легко строятся (рис. 11.2 д, ж). В грузовом состоянии (рис. 11.2 з) момент не возникает, поэтому .

Определим коэффициенты канонических уравнений:

, , .

Из рис. 11.2 з следует что и , а из канонических уравнений получаем , .

Так как , имеем (рис. 11.2 и).

Аналогичные расчеты проводятся для всех типовых случаев, встречающихся в различных основных системах. Результаты их расчетов сводятся в единую таблицу метода перемещений.