ТОП 10:

Уравнения дискретного метода. Уравнение равновесия



Система уравнений, составляемая в дискретном методе, называется полной системой уравнений строительной механики. В нее входят три уравнения – уравнение равновесия (статики), геометрическое уравнение и физическое уравнение.

Составление уравнения равновесия основано на следующем рассуждении: если сооружение находится в равновесии, то его дискретная модель также находится в равновесии; следовательно, и отдельные элементы и узлы дискретной модели тоже находятся в равновесии.

В качестве примера рассмотрим ферму (рис. 12.4 а).

Рис. 12.4

Выберем дискретную модель фермы (рис. 12.4 б) и будем считать, что в ее элементах e1 и e2 возникают только продольные усилия. Поэтому, вырезав узел 1 (рис. 12.4 в), можно составить два уравнения равновесия узла как суммы проекций сил на направления перемещений узла u1 и u2:

,

.

Представим эти уравнения в матричной форме

и обозначим входящие сюда матрицы и вектора:

, , , .

В результате получим матричное уравнение

,

которое называется уравнением равновесия, а входящие в него величины имеют следующие названия: A– матрица равновесия, S – вектор усилий, P – вектор нагрузки, 0 – нуль-вектор.

По матрице A можно установить некоторые особенности расчетной модели. Возможны три случая.

1. n = m (A – квадратная матрица размерности nxn). Если определитель матрицы A не равняется нулю (detA¹0), расчетная модель сооружения статически определима и геометрически неизменяема. В этом случае усилия определяются непосредственно из этого уравнения:

.

Рассмотренная нами ферма является именно такой (n=m=2).

2. n< m. В этом случае система статически неопределима, а число m–n определяет степень ее статической неопределимости. Если ранг матрицы A равняется n, то такая система геометрически неизменяема.

3. n> m. Такая система геометрически изменяема.

В о п р о с ы

1. Какова сущность континуального подхода?

2. Что такое дискретный подход в механике?

3. Какова общая схема реализации различных методов расчета при дискретном подходе?

4. Как определяется дискретная модель стержневой системы?

5. Какой способ переноса нагрузки предпочтительнее и чем это обосновано?

6. Что такое уравнение равновесия и как оно получается?

7. Какие особенности расчетной модели можно установить по полученной матрице равновесия?

Л е к ц и я 13

РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ ДИСКРЕТНЫМ МЕТОДОМ

(продолжение)

Геометрическое уравнение

Внешняя нагрузка приводит к деформации элементов сооружения, но при этом они не должны отрываться друг от друга. Это требование можно записать в виде уравнений совместности деформаций, отражающих геометрическую сторону задачи. Систему таких уравнений будем называть геометрическим уравнением.

Порядок составления геометрического уравнения изучим на примере рассмотренной в предыдущей лекции фермы (рис. 13.1 а).

Рис. 13.1

Пусть под действием нагрузки элементы фермы получают только продольные деформации (рис. 13.1 б). Деформацию (удлинение) первого элемента e1 можно определить по левой схеме на рис. 13.1 в:

.

Деформация второго элемента e2 определяется по правой схеме рис. 1.1 в:

(из-за сжатия e2 от перемещения первое слагаемое взято со знаком «–»).

Перепишем эти уравнения в виде

,

и представим в матричной форме

.

Это уравнение можно записать в виде

+ =0, (1)

где и – вектора перемещений и деформаций, – связующая матрица. Так как – известная нам из предыдущей лекции матрица равновесия, то (символ t означает операцию транспонирования). Значит, при получении уравнения (1) можно обойтись без громоздких геометрических построений и воспользоваться известной матрицей .

Тогда уравнение (1) принимает вид

,

которое и является искомым геометрическим уравнением.

Возможность использования одной и той же матрицы в двух уравнениях – в уравнении статики и в геометрическом уравнении – называется принципом двойственности.

Физическое уравнение

Изучим связь между деформациями и внутренними усилиями элементов расчетной модели стержневой системы.

Выбранная нами расчетная модель сооружения такова, что механические и геометрические характеристики ее отдельных элементов постоянны, а внешняя нагрузка действует только в узлах. В этом случае по нескольким конечным значениям усилий в элементах расчетной модели можно определять усилия во всех точках стержней.

В расчетных моделях плоской стержневой системы встречаются три типовых элемента: 1) элемент с двумя жесткими узлами, 2) элемент с шарнирным и жестким узлами, 3) элемент с двумя шарнирными узлами. При их рассмотрении введем следующие обозначения: er – некоторый элемент, r – номер этого элемента.

1) Элемент с двумя жесткими узлами (рис. 13.2 а). В нем продольная и поперечная силы постоянны, а Q можно выразить через начальный и конечный моменты элемента: .

2) Элемент с шарнирным и жестким узлами (рис. 13.2 б), в котором поперечную силу можно выразить через конечный момент: .

3) Элемент с двумя шарнирными узлами (рис. 13.2 в. В нем имеется лишь постоянная продольная сила N.

а) б)

в)

 

Рис. 13.2

Зависимость между внутренними усилиями и деформациями этих элементов может быть установлена через обобщенный закон Гука и записана в матричной форме

, (2)

где – матрица податливости элемента, связывающая вектор перемещений элемента с вектором усилий .

Например, в элементе 1-го типа связь между компонентами векторов перемещений и внутренних усилий выражается формулами (даются без вывода)

,

,

.

Если эти уравнения записать в матричной форме (2), то матрица податливости элемента первого типа будет

.

Для элемента второго типа имеем

, , .

Для элемента третьего типа

, , .

Теперь рассмотрим полную дискретную модель сооружения как состоящую из m элементов , ,…, . Для всех этих элементов можно записать уравнения (2), связывающие вектора деформаций элементов с векторами усилий . Если же объединить эти уравнения в общую систему, а вектора деформаций и усилий отдельных элементов объединить в вектора и , то полученную систему уравнений можно записать в виде одного матричного уравнения

=BS.

Оно, как устанавливающее связь между разными физическими величинами расчетной модели, называется физическим уравнением, где матрица

é û

называется матрицей податливости системы. Здесь знак é û означает диагональность матрицы.







Последнее изменение этой страницы: 2017-01-26; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.236.15.246 (0.022 с.)