Интегрирование заменой переменных в определенном интеграле

Определение. Функция , заданная на промежутке , называется непрерывно дифференцируемой на , если она дифференцируема на и её первая производная непрерывна во всех её точках.

Теорема. Пусть функция непрерывна на , а функция непрерывно дифференцируема на , причём . Тогда справедлива формула

. (*)

 

Рис.8.

 

 

Доказательство

1.По условию теоремы функция заведомо определена на множестве значений функции .

2.Следовательно, имеет смысл сложная функция .

3.В силу сделанных предположений, подынтегральные функции в обеих частях формулы непрерывны. Следовательно, оба интеграла формулы существуют.

4.Пусть – какая – либо первообразная функции на интервале .

5.Тогда для имеет смысл сложная функция , которая является первообразной для функции .

6.В соответствии с формулой Ньютона- Лейбница:

и

[15].

Следовательно, . Эта формула называется формулой замены переменной. Ч.т.д.

Замечание. Если при вычислении неопределённого интеграла с помощью замены переменной следует возвращаться к старой переменной, то при вычислении определённого интеграла этого делать не нужно. При использовании формулы необходимо всякий раз проверять выполнение условий теоремы. Если эти условия нарушены, то может быть получен неверный результат.

Интегрирование по частям в определенном интеграле

Теорема. Если функции и непрерывно дифференцируемы на отрезке , то справедлива формула:

.

Доказательство

1.Имеем на основании производной произведения двух непрерывно дифференцируемых функций и свойства определённого интеграла..

2.Все эти 3 интеграла существуют, так как по условию теоремы функции и непрерывно дифференцируемы на .

3.На основании формулы Ньютона- Лейбница можно записать:

.

4.Сравним формулы п.1 и п.3 и сделаем вывод

или

. Ч.т.д.

Пример. Вычислить [16].

=

.

Модуль

Тема №10

Понятие квадратируемой фигуры, кубируемого тела и спрямляемой кривой

Лекция №21

1. Определений понятия площади.

2. Квадратируемые фигуры.

3. Простейшие свойства площади.

4. Площадь криволинейной трапеции.

5. Площадь фигуры, расположенной под осью .

6. Площадь фигуры в декартовых координатах.

7. Площадь фигуры, ограниченной снизу и сверху графиками функций.

8. Площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрическими уравнениями.

Определение понятия площади

Определение 1. Многоугольной областью или многоугольником называется произвольная плоская фигура, ограниченная одной или несколькими ломаными линиями (рис. 1.).

 

1. Для таких фигур понятие площади было достаточно изучено в школьном курсе геометрии.

Теперь рассмотрим на плоскости произвольную фигуру , представляющую собой ограниченную замкнутую область (рис. 2.).

2. Ее граница или контур обозначается и представляет собой замкнутую кривую или несколько замкнутых кривых.

 

3. Рассмотрим всевозможные многоугольники , целиком содержащиеся в фигуре , и всевозможные многоугольники , целиком содержащие в себе фигуру , рис. 2.

4. Пусть и обозначают площади этих многоугольников. Очевидно, что .

5. Множество площадей многоугольников будет иметь точную верхнюю грань, так как они все ограничены сверху любым числом .

Обозначим точную верхнюю грань множества чисел через и очевидно, что .

6. Аналогично, множество площадей многоугольников будет иметь точную нижнюю грань, так как каждое из них ограничено снизу числом или любым .

Пусть - точная нижняя грань множества чисел , т.е. , очевидно, что .

7. Эти границы и называются внешней и внутренней площадями фигуры .

Определение 2. Если границы и равны между собой и равны некоторому числу , то плоская фигура называется квадратируемой, а число ее площадью, то есть:

.

Квадратируемые области

Приведенное определение 2 позволяет формулировать условие квадратируемости фигур или областей в виде двух соответствующих теорем.

Теорема 1. Для того чтобы плоская фигура была квадратируема, необходимо и достаточно, чтобы существовали такие две последовательности многоугольников и содержащихся в фигуре и содержащих фигуру соответственно, площади которых имели бы общий предел, т.е.

.

Тогда этот предел является площадью плоской фигуры .