Площадь криволинейной трапеции

Теорема 3. Пусть на плоскости дана фигура, ограниченная отрезком оси , прямыми , и графиком непрерывной неотрицательной функции на . Тогда площадь этой криволинейной трапеции может быть вычислена по формуле:

.

Доказательство

1. Изобразим рисунок в соответствии с условием теоремы.

 

2. Разобьем произвольно отрезок на частей точками

и выберем на каждом частичном отрезке произвольную точку , так чтобы .

3. Восстановим перпендикуляры в точках до пересечения с графиком.

4. Через полученные точки провести прямые, параллельные оси , получим ступенчатую фигуру.

5. Площадь криволинейной трапеции приблизительно равна площади ступенчатой фигуры:

.

6. Очевидно что при , где площадь ступенчатой фигуры стремится к площади криволинейной трапеции.

7. С другой стороны, площадь ступенчатой фигуры является интегральной суммой для определенного интеграла .

8. Так как по условию теоремы функция непрерывна на отрезке , то предел этой суммы при существует и равен определенному интегралу от функции по :

.

9. Следовательно, и площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу от функции по отрезку :

. ч. т. д.

 

Геометрический смысл теоремы: определенный интеграл от неотрицательной непрерывной функции по отрезку численно равен площади криволинейной трапеции с основанием , ограниченной сверху графиком функции .

Площадь фигуры расположенной под осью Ox

Теорема 4. Пустьфункция непрерывна на отрезке и , то есть кривая и криволинейная трапеция, ограниченная снизу этой кривой, лежат под осью . Тогда площадь криволинейной трапеции , определяется по формуле:

или .

Доказательство

1. Изобразим рисунок в соответствии с условием теоремы.

 

 

 

2. Рассмотрим функцию .

3. Эта функция неотрицательна и непрерывна на , и ее график лежит над осью .

4. Криволинейная трапеция, ограниченная сверху графиком функции на отрезке представляет собой зеркальное отражение первоначальной трапеции.

5. Следовательно, фигуры и конгруэнтны (равны), и по свойству площадей их площади равны.

6. Площадь криволинейной трапеции выражается формулой:

.

7. Следовательно, по этой же формуле определяется площадь заданной трапеции по условию теоремы. ч. т. д.

Площадь фигуры в декартовой системе координат

1. Рассмотрим теперь более общий случай, когда некоторые части кривой находятся над осью , а другие – под осью .

2. Изобразим рисунок:

 

3. Теперь в соответствии с двумя предыдущими теоремами площадь фигуры будет определяться так:

или [1], [15].

Площадь фигуры, ограниченной сверху и снизу

Графиками функций

1. Определим площадь фигуры, ограниченной снизу и сверху графиками функций , , , для любого , где , – непрерывные и неотрицательные функции на .

2. Изобразим рисунок:

 

 

3. Так как обе функции неотрицательны, то площадь данной фигуры равна разности площадей двух криволинейных трапеций, ограниченных сверху соответственно графиками функций и .

4. Следовательно, площадь фигуры определяется по формуле:

.

Замечание. Данная формула будет справедлива тогда и только тогда, когда и принимают отрицательные значения.