Доказательство необходимости

1. Пусть площадь плоской фигуры равна числу . Требуется доказать, что в нее можно вписать и около нее можно описать множество многоугольников, площади которых будут иметь общий предел, равный числу

.

2. Так как фигура по условию необходимости квадратируема, то на основании определения 2 будет выполняться утверждение

.

3. Тогда - точная верхняя грань площадей многоугольников , которые вписаны в фигуру .

4. По свойству точной верхней грани множеств для любого найдется содержащийся в фигуре многоугольник , такой что будет выполняться неравенство , (по аналогии ). Здесь .

5. Перейдем к пределу в двойном неравенстве при , получим , на основании теоремы о пределе сжатой переменной.

6. Так как - точная нижняя грань множества площадей многоугольников , содержащиеся в фигуре , то по свойству точной нижней грани для любого найдется такой многоугольник , содержащий фигуру , что будет справедливо неравенство , (на основании свойства нижней грани ). Здесь .

7. Переходя к пределу в последнем двойном неравенстве при , получим

на основании теоремы о сжатой переменной следует.

8. В соответствии с п. 5 и п. 7 можно записать

. ч. т. Д

 

Доказательство достаточности

1. Пусть существуют две последовательности многоугольников и содержащихся в фигуре и содержащих фигуру соответственно, площади которых имели бы общий предел, т. е.

.

Требуется доказать, что фигура квадратируема, и ее площадь равна числу .

2. Пусть , , и, очевидно, .

3. Тогда площади многоугольников и удовлетворяют неравенствам

.

4. По условию п. 1 .

5. Из неравенства п. 3 при переходе к пределу при следует, что . А на основании определения 2 следует, что фигура квадратируема и ее площадь равна . ч. т. д.

Замечание. Иногда вместо многоугольников целесообразно рассматривать другие фигуры, квадратируемость которых уже установлена.

Теорема 2. Если для фигуры можно построить две последовательности квадратируемых фигур и , содержащихся в и содержащих , площади которых имеют общий предел , то фигура квадратируема, а число будет ее площадью.

Доказательство

1. Так как фигура по условию квадратируема, то на основании теоремы 1 найдется такая последовательность многоугольников содержащихся в фигуре .

2. По свойству точной верхней грани последовательности можно записать неравенство ().

3. Так как по условию теоремы , то перейдя к пределу в неравенстве пункта 2, получим

на основании теоремы о сжатой переменной.

4. Так как по условию теоремы фигура квадратируема, то на основании теоремы 1 существует последовательность многоугольников, содержащих в себе фигуру .

5. По свойству точной нижней грани последовательности можно записать неравенство ().

6. Так как по условию теоремы , то перейдя к пределу в двойном неравенстве пункта 5 получим

на основании теоремы о сжатой переменной.

7. Таким образом, существуют две последовательности многоугольников и , содержащихся в фигуре и содержащих фигуру соответственно, площади которых имеют общий предел .

Значит, на основании теоремы 1 фигура квадратируема и ее площадь равна . ч.т.д.

Вывод. Каждой квадратируемой фигуре можно соотнести число , называемое площадью этой фигуры [15].

Простейшие свойства площади

1. Конгруэнтные (равные) фигуры имеют равные площади.

2. Площадь части фигуры меньше, чем площадь всей фигуры.

3. Если плоская фигура разбита на две части и , то квадратируемость двух из этих фигур , , влечет за собой квадратируемость третьей, причем всегда , т. е. площадь обладает свойством аддитивности.

 

 

4. Пусть фигура лежит в плоскости и может быть разбита с помощью

прямых, параллельных осям координат на части. Если эти части

представляют собой квадратируемые криволинейные трапеции, то по свойству 3 сама фигура квадратируема. А ее площадь равна сумме площадей криволинейных трапеций, составляющих эту фигуру.

 

 

Замечание. Плоские фигуры, встречающиеся на практике, как, правило, могут быть разбиты на подобные трапеции, таким образом, можно вычислять площади практически любых плоский фигур [15].