Неопределенный интеграл и его основные методы интегрирования

Тема №8

Неопределенный интеграл и его основные методы интегрирования

Лекция №10

1. Задачи восстановления функции по ее производной.

2. Неопределенный интеграл.

3. Свойства неопределенного интеграла.

4. Таблица основных интегралов.

Задача восстановления функции по её производным

Основной задачей дифференциального исчисления является отыскание производной заданной функции. Разнообразные задачи математического анализа и его многочисленные приложения в геометрии, физике, технике приводят к обратной задаче: по данной функции f (x) найти функцию F (x), производная которой равна f (x).

Определение. Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на некотором множестве X, если для всех значений x Î X справедливо равенство: F ^'(x) = f (x).

Пример №1. Функция F(x) = sin x есть первообразная для функции , так как " x Î ℝ: (sin x)^'_x = cos x.

Пример №2. Функция F (x) = x ³ есть первообразная для функции .

Пример №3. Функция есть первообразная для функции , на интервале (-1;1), так как в любой точке этого интервала

.

Задача отыскания по данной функции f (x) её первообразной F (x) решаются неоднозначно.

Действительно, если F (x) – первообразная для функции f (x), т.е. F^' (x) =f (x), то и функция F (x) +С, где С – произвольная постоянная, также является первообразной для функции f (x), так как производная постоянной равна нулю, и для любого числа С.

Пример. Для функции первообразной является не только sin , но и функция , так как .

Теорема. Всякие две первообразные одной и той же функции отличаются друг от друга на постоянную, определённую на одном и том же множестве X.

Доказательство

1) Пусть F₁ (x) и F₂ (x) – некоторые первообразные функции f (x), опре­деленные на промежутке X.

2) Введем вспомогательную функцию Ψ(x) = F₂ (x)- F₁ (x), и Ψ(x) – дифференцируема на X как производная разности двух дифференцируемых функций.

3) Причем, Ψ .

4) На основании следствия к теореме Лагранжа функция Ψ(x) будет являться постоянной, так как её производная равна нулю на X, следовательно, Ψ(x) =C.

5) Поэтому Ψ(x) можно представить в виде Ψ(x) = F₂ (x) - F₁ (x) = C, следовательно, F₂ (x) = F₁ (x) + C.

ч.т.д.

Следствие. Если F (x) – какая-либо первообразная функции f (x)на промежутке X, то совокупность всех первообразных функции f (x)на промежутке X совпадает со множеством функции { F (x) +C }, C Î ℝ, C – const. Множество первообразных функции { F (x) +C } обозначается F (x) +C, C – const.

Чтобы выделить определенную первообразную Ф (x) для f (x)из { F (x) +C }, необходимо наложить некоторое дополнительное условие на функцию Ф (x). Обычно это начальное условие, т.е. требование, чтобы функция Ф (x) имела в какой-либо фиксированной точке x₀ наперед заданное значение y₀:

F (x₀) +C = Ф (x₀) + y₀.

Неопределенный интеграл

Равенство F^' (x) = f (x) можно записать имеет место тогда и только тогда, когда dF (x) = f (x) dx. Поэтому первообразную функции f (x) называют первообразной дифференциальной формы, , т.е.

.

Определение №1. Если функция F (x) –первообразная функции f (x) на промежутке X, то множество функции F (x) +C, где C – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f (x)на этом промежутке X и обозначается символом = F (x) +C (читают: интеграл эф икс дэ икс), где f (x) – подынтегральная функция, f (x) dx – подынтегральное выражение, x – переменная интегрирования, C – постоянная интегрирования.

Символ обозначает всю совокупность всех первообразных для f (x) на X. Но иногда будем понимать его как любой элемент из этой совокупности, т.е. как какую-нибудь из первообразных. Зная о том, что = , неопределенный интеграл можно записать в других эквивалентных формах .

Определение №2. Восстановлением функции по её производной или, что то же, отыскание неопределенного интеграла по данной подынтегральной функции, называется интегрированием этой функции.

Интегрирование представляет собой операцию обратную дифференцированию. Для того, чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно, продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Пример №1. . Утверждение верно на любом промежутке из .

Пример №2. , верно на любом промежутке из .

Доказательство

1) Справедливость обеих формул следует из определения неопределенного интеграла.

2) Так .

3) Аналогично: .

ч.т.д.

2. Пусть функция y=F (x) непрерывна на отрезке [ a, b ] и дифференцируема на (a,b), тогда выполняется равенство: или , то есть неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной.

Доказательство

Так как дифференциал функции , то

.

ч.т.д.

3. Если функции у = f₁ (х)и y = f₂ (x) имеют первообразные на [ a, b ], то и функция у = f ₁(x) + f ₂(x) будет иметь первообразную на [ a, b ], причем

.

Доказательство

1) Пусть , , где , – непрерывны на [ a, b ], а и – непрерывны на
(а, b).

2) Тогда функция будет непрерывна на [ a, b ] как сумма двух непрерывных на [ a, b ] функций.

3) Поэтому функция будет непрерывна как сумма двух непрерывных функций на (a, b).

4) По определению F ₁ + F ₂ будет первообразной для функции f ₁ + f ₂ на
[ a, b ].

5) А значит, .

6) Сложим два интеграла п.1 или .

7) В силу произвольности постоянных C ₁, C ₂ и C эти совокупности совпадают, и можно записать, что

.

ч.т.д.

Замечание. Это свойство справедливо для любого конечного числа слагаемых функций.

4. Если функция у = f (x) имеет первообразную на [ a, b ] и k – const, k Î ℝ, то и функция у = k × f (x) будет иметь первообразную на [ a, b ], причем, если k ¹0, то .

Доказательство

1) Пусть , где функция F (x) непрерывна на [ a, b ], а функция непрерывна на (a, b).

2) Значит, функция k × F (x) – непрерывна на [ a, b ] как произведение непрерывной функции на константу.

3) И функция будет непрерывна на (a, b) по той же причине.

4) Следовательно, функция k × F (x) является первообразной для функции k × f (x) на [ a, b ].

5) Поэтому .

6) Исследуем неопределенный интеграл

, где C=k × C ₂.

7) В силу произвольности констант C и C ₁ следует, что при k ¹ 0 эти совокупности совпадают, т.е.

.

ч.т.д.

Таблица основных интегралов

Часть формул этой таблицы непосредственно следует из определения интегрирования как операции, обратной дифференцированию и таблицы производных.

1. , a ¹ –1. Эта формула справедлива для любого промежутка, на котором имеет смысл степень x^a.

Доказательство

1) Так как dF (x)= f (x).

2) Тогда .

ч.т.д.

2. . Эта формула справедлива для любого промежутка, не содержащего x = 0.

3. . Эта формула справедлива для любого промежутка, удовлетворяющего неравенству f (x) ¹ 0.

Примеры

1). , так как квадратный трехчлен x ² + x + 1 всюду положителен на ℝ.

2). , верно на любом промежутке, где sin x ¹ 0.

4. , a ¹ –1, a > 0. Формула справедлива для любого промежутка из ℝ.

5. . Формула справедлива для произвольного промежутка.

Примеры

1). , верно на любом промежутке.

2). , верно на любом промежутке.

6. , верно для любого промежутка.

7. , верно для любого промежутка.

Примеры

1). , верно на любом промежутке из ℝ.

2). , верно на любом промежутке, удовлетворяющем неравенству x > 0.

3).
= , верно на любом промежутке из ℝ.

8. , верно для любого промежутка, на котором определен tg x.

Пример. , верно на любом промежутке, на котором определен .

9. , верно на любом промежутке, где определен ctg x.

Пример. , верно на любом промежутке, исключая х = 2p n, где n Î ℤ.

10. , a ¹ 0, верно для любого промежутка из ℝ.

Пример. , верно для любого промежутка из ℝ.

11. , верно для любого промежутка из ℝ..

12. , a ¹ 0,верно для любого промежутка, не содержащего точек x = a и x = – a.

Доказательство

1) .

2) Пусть , a > 0.

3) Тогда .

4) Поэтому (производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции).

5) Пусть х Î(– а, + а), a > 0.

6) Тогда .

7) Поэтому

.

8) Пусть х Î(а, + ), a > 0.

9) Тогда .

10) Поэтому

11) Значит, , .

ч.т.д.

13. , а ¹ 0. Формула справедлива для любого промежутка из интервала (–| a |, | a |), так как

.

Пример. , справедливо на любом промежутке из интервала (–4, 4).

14. , формула справедлива для любого промежутка из интервала (–1, 1).

15. , a ¹ 0, при x ² + a ² –справедлива для любого промежутка, при x ² – a ² – справедлива для любого промежутка, лежащего вне отрезка [–| a |, | a |].

Доказательство

1) Пусть x Î ℝ.

2) Тогда .

3) Пусть x Î(– , | a |).

4) Тогда , поэтому

5) Поэтому .

6) Пусть Î(| a |, + ), тогда .

7) Поэтому .

ч.т.д.

16. , верно на любом промежутке ℝ.

17. , верно на любом промежутке из ℝ.

 

Замечание 1. Интегралы, содержащиеся в этой таблице, принято называть табличными.

2. Все формулы основной таблицы интегралов остаются справедливыми и в том случае, когда переменная интегрирования не является независимой, а представляет функцию от некоторой переменной

, где u = j (x).

Модуль

Тема №8

Лекция №11

1. Непосредственное интегрирование. Примеры.

2. Интегрирование подстановкой и заменой переменных. Примеры.

3. Формула интегрирования заменой переменной. Примеры.

4. Метод интегрирования по частям. Примеры.

Непосредственное интегрирование

Определение. Вычисление интегралов с помощью непосредственного использования таблицы интегралов и основных простейших свойств неопределенного интеграла называется непосредственным интегрированием.

Примеры

1. , выражение справедливо на любом промежутке из ℝ, кроме x ¹ 0.

2. , выражение справедливо на любом промежутке из ℝ.

3. = , выражение справедливо на любом промежутке, на котором определена функция tg x.

 

Доказательство

1) Из условия теоремы следует, что определены две сложные функции

z z (y (x)), где , F (y (x)), где .

2) Функция F (y) дифференцируема и непрерывна на отрезке [ A, B ], так как является первообразной для функции z z (y) по условию теоремы.

3) Следовательно, функция F (y (x)) будет непрерывна на [ a, b ], как композиция непрерывных функций (как сложная функция от непрерывных функций).

4) Применим правило дифференцирования сложной функции, т.е. продифференцируем функцию F (y) и y (x).

.

5) Следовательно, функция F (y (x))является первообразной для функции по определению первообразной.

6) Тогда по определению неопределенного интеграла можно записать

.

ч.т.д.

Доказательство

1. По правилу дифференцирования произведения двух функций на (a, b) можно записать:

.

2. Следовательно, из этого равенства можно записать

.

3. Первообразной функции на [ a, b ] будет являться функция по определению первообразной.

4. Из определения неопределенного интеграла можно записать:

.

5. По условию теоремы функция имеет первообразную на отрезке [ a, b ].

6. Следовательно, исходя из п.2 можно заключить, что будет иметь первообразную на [ a, b ], т.е. или

, или в более компактной форме

.

ч.т.д.

Замечание. Полученная формула позволяет свести вычисление интеграла к вычислению интеграла , который может оказаться более простым.

Примеры

1.

– , выражение справедливо на любом промежутке из ℝ..

2. , n Î N, a = const, a Î ℝ.

1) .

2) Преобразуем интеграл

.

3) Тогда

.
– рекуррентная формула для вычисления интеграла , при " n Î ℕ.

Замечание. Иногда при вычислении неопределенного интеграла методом интегрирования по частям приходится пользоваться несколько раз.

Пример. , справедливо на любом промежутке из ℝ. Интеграл вычислен двукратным интегрированием по частям.

Модуль

Тема №8

Лекция №12, 13

1. Интегрирование рациональных выражений.

2. Метод неопределенных коэффициентов.

3. Виды дробей.

4. Интегрирование простейших дробей I и II типа. Примеры.

5. Интегрирование простейших дробей III типа. Примеры.

6. Интегрирование простейших дробей IV типа. Примеры.

Сведения из алгебры

Определение. Дроби вида где N называются простыми дробями, имеет отрицательный дискриминант.

Теорема. Каждая рациональная функция представляется в виде суммы некоторого многочлена и конечного числа простых рациональных функций.

1. Рассмотрим рациональную функцию где - многочлен n^ой –степени, - m^ой – степени, n,m N.

2. Если то функцию можно представить в виде где - многочлен степени n-m, многочлен степени . Такое разложение рациональной функции получено в результате деления многочлена на .

3. Пусть . Разложим многочлен на простые множители , где имеет только мнимые корни.

4. Известно, что в разложении дроби на простые дроби множителю соответствует группа из k простых дробей:

.

5. Множителю будет соответствовать группа из простых дробей:

.

5. Коэффициенты определяются методом неопределенных коэффициентов.

Виды простых дробей

Простейшие дроби – это дроби следующих четырех типов:

I тип:

II тип: N.

III тип:

IV тип: N,

Модуль

Тема №8

Лекция №14

1. Интегрирование простейших иррациональных функций. Пример.

2. Интеграл вида . Примеры.

3. Интеграл вида .

Модуль

Тема №8

Лекция №15

1. Три подстановки Эйлера.

2. Интегралы от некоторых тригонометрических функций. Примеры.

3. Интегралы от некоторых показательных функций. Примеры.

Первая подстановка Эйлера

Леонард Эйлер (1707-1783) – математик, механик, физик, астроном, член Петербургской академии наук.

1. Если а > 0, то применяется подстановка

.

2. Для определенности рассмотрим подстановку вида

.

3. Возведем в квадрат обе части записанного выражения, получим:

, .

4. Дифференцируем обе части записанного выражения:

или

.

5. Поэтому .

.

6. Так как теперь и радикал рационально выражаются через , то подставим в данный интеграл вместо и их значения:

=

где рациональная функция от переменной .

Вторая подстановка Эйлера

1. Если то для рационализации интеграла можно применить вторую подстановку Эйлера:

.

2. Рассмотрим для определенности подстановку

.

3. Возведем в квадрат обе части этого равенства, получим:

или или .

4. Отсюда .

5. Продифференцируем обе части выражения, получим:

,

или .

6. При этом ,

.

7. Тогда данный интеграл примет вид:

=

где рациональная функция от переменной .

Третья подстановка Эйлера

1. Если квадратный трехчлен имеет различные действительные корни и , то считая мы получаем:

.

2. Следовательно, подынтегральная функция рационально зависит от и от радикала так, что

.

3. Таким образом, пришли к рассмотренному выше интегралу I типа, который рационализируется с помощью подстановки Эта подстановка и представляет собой третью подстановку Эйлера.

Замечание. 1. Формула таблицы основных интегралов

была получена с помощью первой подстановки Эйлера:

2. Вычисление интегралов с помощью подстановок Эйлера обычно приводит к громоздким выражениям и трудоемким выкладкам. Поэтому их следует применять только, если данный интеграл не удается вычислить более коротким способом.

Модуль

Тема №9

Лекция №16

1. Задача о площади криволинейной трапеции.

2. Задача о пройденном пути.

3. Понятие определенного интеграла по Риману.

4. Суммы Дарбу и их геометрический смысл.

Задача о пройденном пути

1.Определим путь , пройденный материальной точкой за промежуток времени от момента до T, если известна скорость движения точки как функции времени , т.е. .

2.Разобьём на n произвольных отрезков точками В результате промежуток разобьётся на частичные промежутки вида , где

3.Пусть - величина i -го промежутка.

4.Выберем в каждом из них произвольно момент времени .

5.Вычислим скорость движения материальной точки в этот момент времени, т.е. найдём .

6.Если дробление промежутка достаточно мелко, то мы приближённо можем считать, что в течение каждого частичного промежутка времени движение происходит равномерно, т.е. с постоянной скоростью. Для определённости будем считать, что в течение i -го промежутка времени точка движется с постоянной скоростью, равной .

7.Тогда путь, пройденный материальной точкой за i -й промежуток времени, будет приближённо равен .

8.Тогда от момента времени до T материальная точка пройдёт приблизительно такой путь: или .

9.Это приближённое равенство будет тем точнее, чем мельче будет дробление отрезка времени , т.е. чем меньше будут частичные промежутки времени .

10.Точное равенство может быть достигнуто, если вычислить предел от этой суммы при где - величина наибольшего частичного промежутка времени, т.е. , где .

Вывод: решение обеих задач свелось к одному и тому же вычислительному процессу. Можно было привести ещё целый ряд задач из других областей науки. Все они приводят к рассмотрению предела суммы вида . Изучение предела такой суммы приводит к понятию определённого интеграла.

Суммы Дарбу

Гастон Дарбу – фр. математик (1842 - 1917).

 

1.Пусть функция ограничена на отрезке и - разбиение этого отрезка точками

2.Обозначим через и соответственно точную нижнюю и точную верхнюю грани этой функции на частичном отрезке : .

3. Составим следующие суммы: ; .

4.Эти суммы соответственно называются нижней и верхней суммами Дарбу функции для данного разбиения отрезка [16].

5. Из определения нижней и верхней граней функции следует, что или, если умножить все части двойного неравенства на и просуммировать по от 1 до , то или . Любая интегральная сумма и суммы Дарбу для данного разбиения связаны этим неравенством. Очевидно, что .

Модуль

Тема №9

Лекция №17

1. Свойства сумм Дарбу.

2. Необходимое и достаточное условия интегрируемости функции по Риману.

3. Интегрируемость непрерывной функции.

4. Интегрируемость монотонных функций.

Свойства сумм Дарбу

При добавлении точек разбиения отрезка нижняя сумма Дарбу может только увеличиться, а верхняя сумма Дарбу - только уменьшиться.

Доказательство

1.Для доказательства свойства достаточно ограничиться присоединением к уже имеющимся точкам деления ещё одной точки деления .

2.Пусть эта точка попадает между точками и , т.е. и .

 

Рис.3.

3.Так как ,

то и , где - нижняя сумма Дарбу, - новая нижняя сумма Дарбу с дополнительной точкой разбиения .

4.Так как = , то , где - верхняя сумма Дарбу, а - новая верхняя сумма Дарбу с добавлением точки [5].

Ч.т.д.

Каждая нижняя сумма Дарбу не превосходит каждой верхней суммы Дарбу, хотя бы отвечающей другому разбиению, т.е. .

Доказательство

1.Пусть и