Интегралы от некоторых тригонометрических функций

I. Интеграл вида , где функция от аргументов

Определение. Рационализация этого интеграла достигается с помощью так называемой универсальной подстановкой:

t = tg , -p < < p.

1. Действительно, так как , , то

и .

3. Тогда интеграл примет вид:

= ,

где - рациональная функция от переменной .

Замечание. Универсальная подстановка во многих случаях приводит к сложным вычислениям, так как при её применении и выражаются через в виде рациональных дробей, содержащих .

Пример. Вычислить интеграл .

1. Воспользуемся универсальной подстановкой

.

2. Интеграл примет вид:

верно на любом интервале, кроме

 

II. Интеграл вида .

1. Для вычисления такого интеграла используется подстановка

, .

2. В этом случае , .

3. Исследуемый интеграл примет вид

= ,

где - рациональная функция от переменной .

III. Интеграл вида .

1. Пусть .

2. Тогда , .

3. Исследуемый интеграл примет вид:

= ,

где - рациональная функция от переменной .

IV. Интеграл вида .

1. Пусть .

2. Тогда .

3. Интеграл примет вид ,

где - рациональная функция от переменной .

V. Интеграл вида Q.

1. Пусть , тогда

.

2. Поэтому .

3. Интеграл примет вид: ,

где - рациональная функция от переменной .

Интегралы от показательных функций

I. Интеграл вида: .

1. Применим подстановку: .

2. Прологарифмируем обе части записанного выражения по основанию , получим: .

3. Продифференцируем обе части записанного выражения, получим: .

4. Исходный интеграл принимает вид: ,

где - рациональная функция от переменной .

Пример. Вычислить интеграл . верно налюбом промежутке из R.

II. Интеграл вида: , где - многочлен некоторой натуральной степени, – константа из R.

1. В данном случае интегрирование осуществляется с использованием метода интегрирования по частям.

, . (*)

2. При однократном применении формулы (*), степень многочлена понижается на один порядок.

3. Если степень многочлена равна , то формулу (*) нужно применять

раз.

III. Интегралы вида: , , где - многочлен некоторой натуральной степени, - константа из R.

1. В данном случае интегрирование осуществляется с использованием метода интегрирования по частям

, (**)

2. При однократном применении формулы (**) степень многочлена понижается на 1.

3. Если степень многочлена равна , то формулу (**) нужно применять

раз.

IV. Интегралы вида: .

Интегрирование осуществляется по формуле (*):

, где .

V. Интегралы вида: .

Интегрирование осуществляется по формуле (*): ,где .

Модуль

Тема №9

Определенный интеграл. Формула Ньютона - Лейбница

Лекция №16

1. Задача о площади криволинейной трапеции.

2. Задача о пройденном пути.

3. Понятие определенного интеграла по Риману.

4. Суммы Дарбу и их геометрический смысл.