Определенный интеграл с переменным верхним пределом

1.Ранее были рассмотрены определённые интегралы с постоянными пределами интегрирования и .

2.Если изменять, например, верхний предел интегрирования так, чтобы не выйти за границы , то величина определённого интеграла будет меняться. Другими словами, интеграл с переменным верхним пределом представляет собой функцию своего верхнего предела.

Рис.7.

3.Рассмотрим интеграл , где с постоянным нижним пределом , и переменным верхним пределом . Величина этого интеграла является функцией верхнего предела .

4.Обозначим эту функцию через , т.е. = . Эта функция называется определённым интегралом с переменным верхним пределом. Пишется переменная , чтобы не спутать с переменным верхним пределом [16].

Геометрически, функция представляет собой площадь заштрихованной криволинейной трапеции, если сама функция .

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , то функция = имеет производную на и или .

Доказательство

1.Пусть .

2.Придадим аргументу приращение так, чтобы не выходило за пределы .

3.Тогда получит новое значение: .

4.Найдём разность .

5.Если , то , тогда .

6.Если , то рассмотрим , тогда

 

.

7.Таким образом, если , то = | на основании теоремы о среднем | = .

8. Если , то = | на основании теоремы о среднем | = .

9.При . Перейдя к пределу в последнем равенстве при , получим: , где . Ч.т.д.

Следствие№1. Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке у неё существует первообразная.

Доказательство

1.Если функция непрерывна на , то согласно теореме она интегрируема на этом отрезке.

2.Тогда функция = является первообразной для функции на отрезке , где , так как на основании теоремы справедливо утверждение . Ч.т.д.

Следствие№2 (формула Ньютона- Лейбница). Если функция непрерывна на отрезке и - её произвольная первообразная на этом отрезке, то . Эта формула называется формулой Ньютона- Лейбница [3].

Доказательство

1.Известно, что если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на нём и = является её первообразной на отрезке , где .

2.Пусть - любая другая первообразная для функции на отрезке .

3.Известно, что любые первообразные одной и той же функции будут отличаться друг от друга на , т.е. или где .

4.Известно свойство определённого интеграла: .

5.Тогда .

6.Таким образом, для .

7.Если , то или . Ч.т.д.

Таким образом, определённый интеграл от непрерывной функции равен разности значений любой её первообразной, вычисленной от верхнего и нижнего пределов интегрирования. В этом заключается метод вычисления определённого интеграла.

Замечание. Формула Ньютона- Лейбница выведена в предположении, что функция непрерывна. При определённых условиях она будет справедлива и для разрывных функций.