Понятие определенного интеграла по Риману

1. Пусть функция определена на .

2.Разобьём отрезок на n-произвольных частей точками - разбиение .

3. - отрезок разбиения, - его длина и - ранг разбиения (длина наибольшего отрезка).

4.В каждом частичном отрезке разбиения выберем по одной точке , причём .

5.Составим интегральную сумму Римана: .

Определение 1. Если существует конечный предел от интегральной суммы Римана , независящий от способа дробления промежутка на части и выбора точек , то функция называется интегрируемой по Риману на отрезке , а предел называют определённым интегралом функции по отрезку и обозначают , т.е = , где - нижний предел интегрирования, – верхний предел интегрирования, - переменная интегрирования, - подынтегральная функция.

Определение 2 (“на языке последовательностей”, по Гейне). Функция называется интегрируемой на отрезке , если для любой последовательности разбиений , у которой , соответствующая последовательность интегральных сумм стремится к одному и тому же числу , т.е. [9].

Символически: , независимо от выбора точек ).

Определение 3 (по Коши). Число называется определённым интегралом от функции по отрезку , если существует такое, что при независимо от выбора точек выполняется неравенство .

Символически: .

Замечание.

1. Из определения определённого интеграла следует, что величина определенного интеграла зависит от вида функции и от чисел .

2. Из этого следует, что определённый интеграл не зависит от обозначения аргумента подынтегральной функции, т.е. от обозначения переменной интегрирования и т.д.

Теорема. Если функция интегрируема по Риману на отрезке , то она ограничена на .

Доказательство

1.Предположим противное, т.е. - неограниченна на .

2.За счёт произвольного выбора точек интегральная сумма Римана может быть сделана сколь угодно большой, т.е. , где M – наперёд заданное большое число.

3.Так как предел не должен зависеть от выбора точек , то он не может быть конечным. Это противоречит условию теоремы, так как по условию теоремы функция интегрируема по Риману, т.е. существует конечный предел . Полученное противоречие и доказывает, что если интегрируема по Риману на , то она ограничена на нём [15]. Ч.т.д.

Замечание. Обратное утверждение неверно, т.е. условие ограниченности функции является необходимым, но недостаточным для интегрируемости функции.

Пример. Рассмотрим функцию Дирихле, определяемую на отрезке

1, если – рациональное число;

0, если – иррациональное число.

Эта функция ограничена на , но она не будет интегрируемой на указанном отрезке:

а) = , если - рациональные точки.

б) = , если - иррациональные точки.

Следовательно, интегральная сумма при предела не имеет [10].

Суммы Дарбу

Гастон Дарбу – фр. математик (1842 - 1917).

 

1.Пусть функция ограничена на отрезке и - разбиение этого отрезка точками

2.Обозначим через и соответственно точную нижнюю и точную верхнюю грани этой функции на частичном отрезке : .

3. Составим следующие суммы: ; .

4.Эти суммы соответственно называются нижней и верхней суммами Дарбу функции для данного разбиения отрезка [16].

5. Из определения нижней и верхней граней функции следует, что или, если умножить все части двойного неравенства на и просуммировать по от 1 до , то или . Любая интегральная сумма и суммы Дарбу для данного разбиения связаны этим неравенством. Очевидно, что .