Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Формула интегрирования заменой переменной
1. Пусть функция y y (x)монотонна на [ a, b ] и выполняются все условия указанные в теореме §2. Она непрерывна на [ a, b ], дифференцируема на (a, b). 2. Тогда функция y y (x)будет иметь обратную функцию x x (y), непрерывную и монотонную на множестве значений функции y y (x), дифференцируемую во всех внутренних точках этого множества. 3. Тогда формула интегрирования подстановкой может быть записана так: . Замечание. Удачный выбор подстановки обычно представляет известные трудности, но для их преодоления необходимо знать все табличные интегралы и прекрасно владеть техникой дифференцирования. Пример. Вычислить . 1. Пусть функция , , будет использована в качестве замены переменной. Она непрерывна и монотонна на отрезке , и дифференцируема во всех внутренних точках указанного отрезка. 2. Тогда , причем на . 3. Поэтому = . 4. Так как , , следовательно, . 5. Так как , то . 6. Так как . 7. Поэтому , верно на любом промежутке из . Замечание. Удачный выбор подстановки обычно представляет известные трудности. Для их преодоления необходимо овладеть техникой дифференцирования и хорошо знать табличные интегралы. Метод интегрирования по частям Данный метод основан на использовании формулы дифференцирования произведения двух функций. Теорема. Если функции u = u (x) и v = v (x) непрерывны на промежутке [ a, b ] и дифференцируемы на интервале (a, b) и функция имеет первообразную на промежутке [ a, b ], то функция имеет первообразную на отрезке [ a, b ], причем справедлива следующая формула: или . Доказательство 1. По правилу дифференцирования произведения двух функций на (a, b) можно записать: . 2. Следовательно, из этого равенства можно записать . 3. Первообразной функции на [ a, b ] будет являться функция по определению первообразной. 4. Из определения неопределенного интеграла можно записать: . 5. По условию теоремы функция имеет первообразную на отрезке [ a, b ]. 6. Следовательно, исходя из п.2 можно заключить, что будет иметь первообразную на [ a, b ], т.е. или , или в более компактной форме . ч.т.д. Замечание. Полученная формула позволяет свести вычисление интеграла к вычислению интеграла , который может оказаться более простым. Примеры 1. – , выражение справедливо на любом промежутке из ℝ..
2. , n Î N, a = const, a Î ℝ. 1) . 2) Преобразуем интеграл . 3) Тогда . Замечание. Иногда при вычислении неопределенного интеграла методом интегрирования по частям приходится пользоваться несколько раз. Пример. , справедливо на любом промежутке из ℝ. Интеграл вычислен двукратным интегрированием по частям. Модуль Тема №8
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2016-12-30; просмотров: 396; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 54.227.104.229 (0.01 с.) |