Семантика логики высказываний

 

Если в формальной логике суждения расчленяются на субъект и предикат, то в логике высказываний суждение не расчленяется, а рассматривается как простое, из которого с помощью логических операций строится сложное суждение. С логики высказываний и началась собственно математическая логика.

В логике высказываний используется понятие «Высказывание».

Высказывание – это предложение, которое либо истинно, либо ложно. Высказывание – как правило, повествовательное предложение. Если нет общего мнения об истинности, то это не является высказыванием. Из двух и более высказываний строятся сложные высказывания, с помощью логических операций, рассмотренных ранее (см. «Переключательные функции и способы их задания»):

1) Конъюнкция: (логическое «И», «логическое умножение»). Обозначения: ×, Ù, &, AND.

2) Дизъюнкция (логическое «ИЛИ», «логическое сложение»). Обозначения: Ú, OR.

3) Импликация («если…, то», «тогда, когда»). Обозначения: ®, Þ, É, IF – THEN.

4) Эквиваленция (логическое «тогда и только тогда, когда»). Обозначения: «, Û, EQV.

5) Разделительное «или» (неравнозначность или «сумма по модулю 2», или «исключающее или»). Обозначение: Å, XOR.

6) Инверсия (логическое «НЕ», «неверно, что»). Унарная операция. Обозначения: `, Ø, NOT.

Особое внимание в логике уделяется импликации, левый член называется антецедент, а правый – консеквент: X®Y=`XÚY. В логике высказываний переменные обозначаются прописными буквами.

«Штрих Шеффера» и «Стрелка Пирса» – бинарные операции, с помощью которых могут быть выражены все другие операции.

Штрих Шеффера (логическое «И-НЕ»). Обозначение: |, A|B= .

Стрелка Пирса (логическое «ИЛИ-НЕ»). Обозначение: ¯, А¯В= .

Символы логических операций называются пропозициональными знаками, а символы переменных – пропозициональными переменными.

В основании математической логики лежат законы Аристотеля. Они уже нам знакомы.

I закон – тождества.

В процессе определенного рассуждения каждое понятие и суждение должно быть тождественно само себе.

Х≡Х или Х®Х.

II закон – противоречия.

Невозможно, что одно и то же, в одно и то же время, было и не было присуще одному и тому же в одном и том же отношении.

(ложно), (истина).

III закон – исключенного третьего.

Равным образом не может быть ничего промежуточного между двумя членами противоречия, а относительно чего-то одного необходимо, чтобы то ни было, либо утверждать, либо отрицать.

(истина).

Часть логиков считают, что в ситуациях относительных к будущему закон исключенного третьего не применим. Но это уже неклассическая логика.