Особенности и принципы математического моделирования

Моделирование является процессом построения, изучения и применения моделей. Оно сопряжено с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и т.д. Процесс моделирования обязательно включает конструирование научных гипотез.

Главная особенность моделирования заключается в том, что это метод опосредованного познания с помощью объектов-заменителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь (системный аналитик) ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает то, что его интересует. Именно эта особенность моделирования определяет специфические формы использования абстракций, аналогий, гипотез, других категорий и методов познания.

Необходимость использования моделирования определяется тем, что многие объекты (или некоторые аспекты этих объектов) непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или это требует много времени и средств.

Пусть имеется или необходимо создать некоторый объект А. Мы конструируем (материально или в воображении) или находим в реальном мире другой объект B - модель объекта A. Можно выделить следующие четыре основных этапа построения модели.

Первый этап предполагает наличие некоторых знаний об объекте-оригинале. Познавательные возможности модели обуславливаются тем, что модель отражает, с точки зрения системного аналитика, существенные черты объекта-оригинала. Вопрос о необходимости и достаточности сходства оригинала и модели требует анализа. Очевидно, модель теряет смысл как в случае тождества с оригиналом (тогда она не перестает быть оригиналом), так и в случае чрезмерного во всех существенных отношениях упрощения. Изучение одних сторон моделируемого объекта происходит за счет отказа от отражения других сторон. Поэтому любая модель замещает оригинал лишь в строго ограниченном смысле. Из этого следует, что для одного объекта может быть построено несколько "специализированных" моделей, концентрирующих внимание на определенных сторонах исследуемого объекта или характеризующих объект с разным уровнем детализации.

На втором этапе модель выступает как самостоятельный объект исследования. Одной из форм такого исследования является проведение «модельных» экспериментов, при которых сознательно изменяют условия функционирования модели и систематизируют данные о ее «поведение». Окончательным результатом этого этапа является множество знаний о модели В.

На третьем этапе осуществляется перенос знаний с модели на оригинал - формирование множества знаний S об объекте А. Этот процесс переноса знаний проводится по определенным правилам. Знание о модели должны быть скорректированы с учетом тех свойств объекта-оригинала, которые не нашли отражения или были деформированы при построении модели. Мы имеем достаточно оснований переносить какой-либо результат с модели на оригинал, если этот результат обязательно связан с признаками сходства оригинала и модели. Если же определенный результат модельного исследования связан с отличием модели от оригинала, то его переносить неправомерно.

Четвертый этап - практическая проверка полученных с помощью моделей знаний и использования их для построения обобщенной теории объекта или управления им.

Для понимания сущности моделирования важно иметь в виду, что моделирование - не единственный источник получения новых знаний об объекте. Процесс моделирования «погружен» в более общий процесс познания. Это учитывается не только на этапе построения модели, но и на завершающей стадии, когда происходит объединение и обобщение результатов исследования, полученных с использованием многообразных средств познания.

Моделирование - циклический процесс: за первым четырехэтапным циклом может наступить второй, третий и т.д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки, которые выявляются после первого цикла моделирования, обусловленные, например, недостаточным изучением объекта и ошибками в построении модели, можно исправить в последующих циклах. В методологии моделирования, таким образом, заложены возможности саморазвития.

Отметим, что общепризнанными считаются три подхода к построению математических моделей. Методически эти подходы связаны и направлены на переход от простого к сложному.

Первый - упрощение реальной ситуации. Существенное упрощение достигается тогда, когда несущественные свойства начальной эмпирической стадии познания изучаемого объекта и его окружение не учитываются. Итак, сложная по своей природе практическая ситуация упрощается до идеализированного аналога, который поддается математическому описанию.

Второй - построение простой модели на основании определенных, характерных особенностей реальной ситуации, с последующим последовательным усложнением такой модели путем охвата других факторов вплоть до получения «приемлемого» варианта модели.

Третий - введение значительного количества факторов в их взаимосвязях и построение, и изучение модели средствами имитационного моделирования. В каждом случае модель «развивается» и уточняется по мере достижения более глубокого понимания системным аналитиком сущности поставленной задачи и объекта исследования.

Системные аналитики обязаны руководствоваться также принципами концепции «математической модели» некоторого объекта.

Принцип 1. Диалектическая пара модель-объект всегда полярна, имеет два полюса - «модель» и «объект».

Принцип 2. Из двух взаимосвязанных полюсов диалектической пары модель-объект один является первичным, другой - производным от него.

Принцип 3. Наличия полюса «объект» недостаточно для наличия полюса «модель», наличие полюса «модель» вызывает необходимость наличия полюса «объект».

Принцип 4. Как «модель» для данного «объекта», так и «объект» для данной «модели» семантически и интерпретационно многозначные: «модель» отражает свойства не одного, а многих «объектов», «объект» описывается не одной, а многими «моделями».

Принцип 5. «Модель» должна быть адекватной «объекту» и отображать с определенной точностью основные его черты и свойства в зависимости от целей исследования, имеющейся информации, приемлемой системы гипотез.

Стоит отметить, что на практике реализуются три основные степени формализации (формирование математической модели): содержательное описание; формализованная схема; математическая модель.

С точки зрения целей исследования и цели построения модели, первичная эмпирическая ситуация, по которой формулируется «задача» (исследование), прежде всего, подлежит обстоятельному анализу, начальным пунктом которого является содержательное описание объекта (явления, процесса). На вербальном уровне (языковыми средствами) воспроизводятся данные о природе (сущности) объекта, наблюдаемые количественные характеристики явлений (процессов), характер взаимодействия между составляющими элементами, место и важность каждого явления в общем процессе функционирования объекта исследования. На уровне содержательного описания формализация сводится к выделению множества существенных (ключевых) факторов, характеризующих объект (в соответствии с целями исследования и построения модели), его структуру, свойства, соотношение между составляющими частями. Каждый из выделенных факторов должен быть описан на качественном и количественном уровнях (интервал возможных значений, шкала измерения и т.д.). Формой содержательного описания может быть терминологическое выражение, текст, совокупность числовых значений с соответствующими комментариями.

Параллельно с содержательным описанием (или несколько позже) может формироваться схема, которая в виде символов, графиков, графов, таблиц изображает перечень и взаимосвязи, направленные на выявление существенных факторов, придачу им целостности, которая бы в общих чертах воспроизводит (адекватно) свойства объекта исследования. Законы и закономерности могут быть заменены описательными выражениями, названия - математическими символами, отношения - математическими действиями (операторами).

Дальнейшее преобразование содержательного описания и формализованной схемы в единую группу математических символов и соотношений завершается построением математической модели. Действие законов и закономерностей «материализуется» из правил формальной логики и логического вывода в форме уравнений, неравенств, соотношений между математическими символами, с точностью до истинности математических преобразований и соответствия сформулированных гипотез реальным законам. Такая модель является математической моделью изучаемого объекта и подобных ему объектов-аналогов.

Существуют различные формы изображения математической модели. Разновидность их ограничивается четырьмя типичными группами - инвариантной, алгоритмической, аналитической, схемной.

Инвариантная форма - изображение математической модели безотносительно к методам, с помощью которых может решаться поставлена ​​задача моделирования. Например:

Алгоритмическая форма - изображение математической модели в виде последовательности действий, которые необходимо выполнить, чтобы при решении поставленной задачи моделирования перейти от известных данных к искомому результату.

Аналитическая форма - изображение математической модели в виде формул и соотношений между математическими выражениями, с помощью которых искомые в задаче моделирования результаты определяются через известные данные. Например:

Схемная форма - изображение математической модели в виде таблиц данных, диаграмм, схем, графов, графиков. Например:

Тут F ₁, F ₂ — передаточные функции объекта.

Использование аналогов в построении моделей. Аналоги в построении моделей используются в огромном количестве случаев: либо при попытке построить модель некоторого объекта, или в случае, когда невозможно прямо указать фундаментальные законы или вариационные принципы, которым он подчиняется, или когда с точки зрения наших сегодняшних знаний вообще нет уверенности в существовании подобных законов, допускающих математическую формализацию. Одним из плодотворных подходов к такого рода объектам является использование аналогов с уже изученными явлениями.

Отметим, что использование аналогий основывается на одной из очень важных свойств моделей - их универсальности, т.е. использовании их для объектов принципиально разной природы. Так, предположение (гипотеза) типа «скорость изменения величины пропорциональна значению самой величины (или некоторой функции от нее)» широко используется в экономике.

Иерархический подход к формированию моделей. Лишь в немногих случаях бывает удобным и оправданным построение математических моделей для обычных объектов сразу во всей полноте, с учетом всех существенных факторов. Поэтому естественным является подход, реализующий принцип «от простого - к сложному», когда следующий шаг делается после достаточно детального изучения не очень сложной модели. Итак, возникает цепочка (иерархия) все более детализированных моделей, каждая из которых обобщает предыдущие, включая их как частный случай.

Отметим, что на практике используют банк моделей и осуществляют адаптацию известной модели.